Тема 2: Рентные платежи и их анализ

1. Объединение финансовых рент

Во избежание финансового ущерба для участников сделки объединение рент должно происходить на основе равенства текущей стоимости.

Пример. Требуется объединить три финансовые ренты в одну платежи выплачиваются раз в год (в начале) и квартальным начислением процентов. Срок объединенной ренты – 5 лет. Платежи начисляются немедленно. Процентная ставка объединенной ренты - 30%. Условия объединения рент приведены в табл.1, где m и p число периодов начисления процентов и платежей в году; r – номинальные процентные ставки рент; t – продолжительность периода, на который откладываются денежные платежи, R – разовые рентные платежи.

Таблица 1.

№ ренты	Срок ренты , n лет	m	p	t , лет	R, млн.р.	r , %
I	5	4	12	0	40	26
II	3	4	2	1	70	30
III	3	12	4	1	90	30

Решение:

Современная величина для р-срочной ренты, при начислении процентов m раз в год:

, где r- процентная ставка ренты.

Для первой ренты:

А₁=1350 млн. р.

Для второй ренты:

А₂=195,399 млн. р.

Для третьей ренты:

А₃=512,541 млн. р.

Для всех трех рент:

Долее рассчитываем объединенную ренту:

Разовый рентный платеж:

Ответ: Размер ренты (платежа) составляет R=190,974 млн. р.

2. Изменение условий ренты

При любом изменении параметров финансовых рент исходят из равенства современных (текущих величин).

Пример. Строительная фирма предлагает клиентам в новом доме квартиры стоимостью 300 млн. руб. Варианты оплаты следующие:

1) Для молодых семей – 15% авансом, а остаток стоимости – по льготному государственному кредиту на 20 лет под 5% годовых. Платежи осуществляются равными годовыми суммами в конце каждого года.

2) Аванс – 15%. Остальная сумма выплачивается в кредит стоком на 2 года по номинальную процентную ставку 20% годовых. Проценты начисляются 4 раза в год, а платежи происходят ежемесячно.

3) Аванс – 10%. Предусмотрена отсрочка платежей сроком на один год. Остальная сумма выплачивается в течение трех лет равными месячными платежами с ежемесячным начислением процентов. Номинальная процентная ставка кредита – 18%.

Требуется рассчитать финансовые последствия предложенных вариантов.

Условия и финансовые последствия вариантов 1 – 3 сведены в таблицу, где введены следующие обозначения: n, t – срок кредита и продолжительность отсрочки; m, ρ – число периодов начисления процентов и платежей в году; R - величина годового платежа; S – общая наращенная стоимость финансовой ренты.

Таблица

N варианта	P, млн.	q% аванса	n, лет	t,лет	m	ρ	j%	R, млн.	S, млн.
1	300	15	20	0	1	1	5	20.462	721.591
2	300	15	2	0	4	12	20	155.257	421.751
3	300	10	3	1	12	12	18	140.047	581.738

Решение:

Вариант 1. Стоимость кредита P1=0,85*300=255 млн.

Определяем величину ежегодного платежа.

Наращенная стоимость финансовой ренты.

С учетом аванса.

Вариант 2. Стоимость кредита P1=255 млн.

Определяем величину ежегодного платежа.

Наращенная стоимость финансовой ренты.

С учетом аванса.

Вариант 3. Стоимость кредита P1=P-Pq=300-0,1*300=270 млн.

Определяем величину ежегодного платежа.

Наращенная стоимость финансовой ренты.

С учетом аванса.

3. Анализ рентных платежей

Ряд платежей, объединенных и выплачиваемых на основании некоторого финансового обязательства в течении определенного времени, называется потоком платежей, а отдельные платежи этого ряда называются членами потока.

Наращенная сумма обычной ренты. Рассмотрим наращение при постоянных рентах.

а) годовая рента c годовой процентной ставкой i_c. Пусть имеется ряд одинаковых платежей R, которые совершаются в конце каждого года на протяжении n лет, при этом на каждый уже совершенный платеж в дальнейшем происходит начисление раз в году сложных процентов по ставке i_c и требуется определить наращенную сумму всех платежей в течении этих n лет. Таким образом здесь мы имеем дело с постоянной годовой рентой, члены которой имеют величину R, со сроком действия в течении n лет и годовой процентной ставкой i_c.

Всего имеем n разовых платежей R. Заметим, что согласно условий ренты, на последний платеж проценты не начисляются, на предпоследний платеж проценты начисляются один год, на пред предпоследний - два года и т.д. Соответственно на первый платеж, проценты начисляются (n-1) лет.. Так как множитель наращения для сложных процентов за время равное одному году равен =(1+i_c), то для наращенной суммы всех платежей получаем:

Здесь использовалась формула для суммы геометрической прогрессии со знаменателем . Заметим, что в этой формуле для наращенной суммы ренты не указываются количество платежей, конкретный вид платежа и конкретный вид множителя наращения , зависящего как от вида процентной ставки так и периода ренты, т.е. формула (4.1) записана для самого общего случая.

Подставляя значение множителя наращения =(1+i_c) в формулу получаем наращенную сумму годовой ренты с со ставкой i_c:

где величина s_n,i, зависящая от двух параметров n и i называется коэффициентом наращения ренты. Для коэффициента наращения ренты s_n,i существуют специальные таблицы.

б) p - срочная рента c номинальной процентной ставкой j, начисляемой m - раз в году. Это самый общий случай (при p=1 и m=1 имеем годовую ренту, при p=1 имеем годовую ренту с номинальной процентной ставкой j, при m=1 имеем p - срочную ренту).

P - срочная рента выплачивается p - раз в году равными частями R_p=R/p, а время между платежами равно 1год/p, т.е. период ренты равен 1/p(год). На каждый такой платеж m - раз в году начисляются проценты по номинальной ставке j. Поэтому за время между платежами равное 1/p (года) множитель наращения по номинальной ставке j с начислением процентов m раз в году будет равен =(1+j/m)^m/p. За весь срок ренты равный n лет будем иметь np платежей. Подставляя эти значения в формулу (4.1) получаем:

Преобразуем эту формулу к виду удобному для вычислений с помощью таблиц для коэффициентов наращения ренты s_n,i. Разделив числитель и знаменатель на j/m имеем:

в) непрерывное начисление процентов для p-срочной ренты (p=1 соответствует обычной ренте). Пусть поток платежей дискретный с разовым платежом R_p=R/p, а проценты начисляются непрерывно в течении всего срока ренты равного n лет. Тогда для множителя наращения за время равное 1/p записать: =e^/p. После подстановки в (4.1) имеем

где коэффициент наращения равен: