3.1.1 Определение поздних сроков свершения событий

Определение поздних сроков свершения событий начинается с завершающегося события, т.е. с конца графика и ведётся строго в обратном порядке, приближаясь к исходному событию.

Поздний срок свершения завершающего события принимается равный его раннему сроку, т.е.

t_pg = t_ng (4)

Поздний срок свершения предыдущего события определяется как разность между поздним сроком свершения завершающего события и продолжительностью работы:

n_i = t_ng – t_ig (5)

Если из какого-либо события выходит две или несколько работ то поздний срок свершения этого события определяется минимально разностью между поздним сроком свершения конечного события и продолжительностью работы, т.е.

t_ni = (t_nj - t_ij) min (6)

Определим поздние сроки свершения событий сетевой модели, представленной на рис. 3.5:

Рисунок 3.5

t_n5 = t_n6 – t_5,6= 20-6 =14 неделям

t_n4 = t_n6 -t_4,6= 20 - 4 =16 неделям

t_n3 = t_n5- t_3,5= 14 - 8 = 6 неделям

t_n2 = (t_n4 -t_2,4; t_n5- t_2,5; t_n3 –t_2,3)

min = (16 - 5; 14 - 3; 6-1) min =5 недель

Если график рассчитан правильно, то поздний срок свершения исходного события должен быть равен его раннему сроку, т.е. t_ni = t_pi=0.

3.1.2 Определение резервов времени события

Резервы времени событий определяются как разность между поздним и ранним сроком свершения P_i=t_ni-t_pi.

В нашем примере резервы времени соответственно равны:

P₁= t_n1-t_p1= 0-0=0

P₂ = 5-5=0

Р₃ = 6-6=0

P₄= 16-10=6

P₅= 14-14=0

р₆= 20-20=0

Значения резервов времени событий записываются в верхний сектор соответствующего события (рис. 3.6).

Рисунок 3.6

3.1.3 Определение критического пути

Для определения критического пути используется метод СРМ, применяемый для управления проектами с фиксированным временем выполнения работ. На этом этапе определяются работы и события, лежащие на критическом пути. Определение критического пути ведётся от исходного события до завершающего. Необходимым условием того, что работа находится на критическом пути, является нулевой резерв времени начального и конечного события этой работы, т.е.

P_i=P_j (7)

Если из события с нулевым резервом времени выходит несколько работ, имеющих нулевой резерв времени конечного события, то проверяете второе, достаточное условие, подтверждающее что данная работа находиться на критическом пути. Разность между сроком свершения конечного события, продолжительностью работы и сроком свершения начального события должна быть равна 0;

t_j-t_ij-t_i=0 (8)

Определим критический путь сетевой модели, представленной на рис.3.3 Из события 1 выходят две работы, у которых конечные события имеют нулевой резерв времени (см. рис. 3.6), т.е. Р₂=0 и Р₃=0

Какая же из двух работ на критическом пути? Из формулы (8) следует, что на критическом пути находится та работа, у которой t_j-t_ij-t_i=0

для работы 1-2: t₂-t_1,2- t₁ =5-5-0= 0 для работы 1-3: t₃-t_1,3-t₁ =6-4-0= 2.

Следовательно, критический путь проходят через работу 1-2. На графике критический путь отмечаем жирной линией (см. рис 3.7)

Рисунок 3.7

Из события 2 выходят три работы, причем у двух работ 2, 5 и 2, 5 конечные события имеют нулевой резерв времени. Проверим второе условие, достаточное для того, чтобы данная работа находилась на критическом пути:

для работы 2, 3: t₃ –t_2,3-t₂ =6-1-5= 0

для работы 2, 5: t₅ –t_2,5-t₂ =14-3-5= 6

Следовательно, критический путь проходит через работу 2, 3. Дальше критический путь проходит через работы 3,5; 5,6.

Следовательно, продолжительность критического пути равна:

t_кр =t_1,2 +t_2,3 +t_3,5 +t_5,6 = 5 +1 + 8 + 6= 20 нед.

В методе критического пути предполагалось, что время выполне­ния работ нам известно. На практике же эти сроки обычно не опре­делены. Можно строить некоторые предположения о времени вы­полнения каждой работы, но нельзя предусмотреть все возможные трудности или задержки выполнения. Для управления проектами с неопределенным временем выполнения работ наиболее широкое применение получил метод оценки и пересмотра проектов (Project Evaluation and Review Technique — PERT), рассчитанный на исполь­зование вероятностных оценок времени выполнения работ, предус­матриваемых проектом. Для каждой работы вводят три оценки:

- оптимистическое время а — наименьшее возможное время вы­полнения работы;

- пессимистическое время b — наибольшее возможное время вы­полнения работы;

- наиболее вероятное время т — ожидаемое время выполнения работы в нормальных условиях.

По а, b и т находят ожидаемое время выполнения работ:

; (9)

И дисперсию ожидаемой продолжительности t:

; (10)

Используя значения t, найдем критический путь сетевого графика. Распределение времени T завершения проекта является нормаль­ным со средним Е(Т)_, равным сумме ожидаемых значений времени работ на критическом пути, и дисперсией (T), равной сумме диспер­сий работ критического пути, если времена выполнения каждой из ра­бот можно считать независимыми друг от друга. Тогда можем рас­считать вероятность завершения проекта в установленный срок Т₀:

, где (11)

- функция Лапласа (12)

Значения функции Ф(х) берутся из специальной таблицы №2. Важно, что

Ф(-х) = -Ф(х) (13)

Можно также воспользоваться мастером функций f_x пакета Excel:

Ф(х) = нормрасп(х; 0; 1; 1) - 0,5. Полагают Ф(х) = 0,5 при х > 5.

Таблица 1 - Пример проекта создания программного продукта

Работа	Непосредственный предшественник	Оптимисти­ч. (а)	Наиболее вероятное (m)	Пессимис­тич. (b)
А	—	3	5	6
В	—	2	4	6
С	А, В	5	6	7
D	А, В	7	9	10
Е	В	2	4	6
F	С	1	2	5
G	D	5	8	10
Н	A F	6	8	10
I	Е, G, Н	3	4	5

Каков ожидаемый срок завершения проекта? Чему равно стан­дартное отклонение времени завершения проекта? Какова вероят­ность того, что выполнение проекта займет не более 25 рабочих дней?

Ожидаемое время выполнения работы:

(14)

Дисперсия ожидаемой продолжительности t:

; (15)

Таблица 2 - Расчет дисперсии и времени выполнения основных работ для программного продукта

Работа	a	m	b
A	3	5	6
B	2	4	6
C	5	6	7
D	7	9	10
E	2	4	6
F	1	2	3
G	5	8	10
H	6	8	10
I	3	4	5

Построим сетевой график с указанием ожидаемой продолжитель­ности каждой работы. Найдем критический путь и рассчитаем обыч­ным способом ожидаемый срок выполнения проекта Е{Т).

Рисунок 3.8

Рисунок 3.9

Критический путь - A-D-H-I. Длина критического пути — 25,6 (дн) = Е(Т). Дисперсия ожидаемого времени выполнения проекта равна сумме дисперсий критических работ:

(дней²)

Т огда стандартное отклонение времени выполнения проекта составит (дней)

Найдем вероятность того, что выполнение проекта займет не более Т₀ = 25 дней: