3.1.3. Методи моделювання

При створенні і дослідженні складних технічних систем засто­совують методи аналітичного, чисельного, імітаційного, натурного й напівнатурного моделювання.

Аналітичні методи полягають у перетворенні символьної інформації, яка записана мовою математичного аналізу. При вико­ристанні аналітичних методів будується математична модель систе­ми, що описує її фізичні властивості за допомогою математичних співвідношень, наприклад, у вигляді диференціальних або інтегральних рівнянь. Моделі такого типу називають аналітичними. Аналітична модель будується на основі понять, символіки і методів деякої теорії (наприклад, молекулярно-кінетичної теорії газів), яка визначає клас математичних аналогій, тобто основоположних мате­матичних моделей. При аналітичному підході необхідні залежності виводяться з математичної моделі послідовним застосуванням мате­матичних правил. Перешкодою при цьому може бути нерозв'язність рівнянь в аналітичному вигляді, відсутність первісної для підінтегральних функцій і т .д. Тому лише при певних властивостях моделі можна отримати розв'язок в явній аналітичній формі. Незва­жаючи на обмежені можливості аналітичного підходу, результати, які одержують в аналітичній формі, мають велику пізнавальну цінність та знаходять застосування при розв'язуванні широкого кла­су теоретичних і прикладних задач.

Останнім часом досить важливою стала задача впровадження в інже­нерну практику наближених аналітичних методів аналізу нелінійних об'єктів (процесів) різної фізичної природи із застосуванням ЮМ. Успішне розв'язування цієї задачі стало можливим завдяки розробці систем про­грамування, які використовуються для аналітичних і чисельно-аналітичних обчислень на ЕОМ. Завдяки створенню систем аналітичних обчислень та пе­ретворень на ЕОМ, яка дає змогу працювати безпосередньо з математичними формулами, застосування ЕОМ виявилось плідним для проведення складних розрахунків у небесній механіці, математичній фізиці тощо [14].

Чисельні методи базуються на побудові кінцевої послідовності дій над числами, яка приводить до отримання необхідних результатів. При наявності математичної моделі технічної системи застосування чисельних методів зводи­ться до заміни математичних операцій і співвідношень відповідними опе­раціями над числами: заміна інтегралів сумами, похідних — відношеннями різниць, нескінченних сум — кінцевими і та У результаті цього будується ал­горитм, який дає можливість точно або з допустимою похибкою обчислити значення необхідних величин на ЮМ. Результатом застосування чисельних методів є таблиці, графіки, залежності, які розкривають

56

астявості системи. Чисельні методи по відношенню до аналітич- дозволяють розв'язувати значно більш широке коло задач, але !* цьому отримані результати мають частковий характер і вима­ ї і

гають додаткової перевірки.

Характер процесів, які притаманні технічній системі й підлягають відображенню в моделі, може бути настільки складним, ₀ побудова математичної моделі перетворюється в складну задачу, _а аналіз моделі навіть чисельними методами може виявитися нере­зультативним через трудомісткість або нестійкість алгоритмів у відношенні похибок апроксимації і округлень результатів обчислень. Відтворення в моделі динаміки складних просторово-часових відношень між елементами, що утворюють складну технічну систему, всієї багатогранності її зв'язків із зовнішнім середовищем, діючих у системі законів керування, адаптивних властивостей і рис цілеспрямованої поведінки практично неможливі чисто матема­тичними засобами.

При дослідженні таких систем із використанням методів імітаційного моделювання широке застосування знаходять моделі, які являють собою змістовий опис технічних систем і форм алго­ритмів. В описах відображаються як структура системи, що дося­гається шляхом ототожнення елементів системи з відповідними еле­ментами алгоритмів, так і процеси функціонування системи в часі, які представляються в логіко-математичній формі. При цьому описи системи мають алгоритмічний характер, а самі моделі становлять програми для ЕОМ. Моделі такого типу називають імітаційними, або алгоритмічними.

Особливість даного підходу до моделювання полягає в тому, що для побудови моделі використовуються алгоритмічні мови, які є більш гнучкими й доступними засобами опису складних систем, ніж мови математичних функціональних співвідношень. Завдяки цьому в імітаційних моделях складних технічних систем знаходять відображення багато деталей і функцій, що вимушено не враховую­ться в математичних моделях.

У теорії складних систем з притаманним їй імовірнісним підходом до моделювання систем широко використовується набли­жений чисельний метод аналізу імітаційних моделей — метод стати­стичних випробувань (метод Монте-Карло) [15]. Процес побудови та аналізу імітаційних моделей із застосуванням методу статис­тичних випробувань називається статистичним моделюванням. Ста­тистичне моделювання є методом отримання за допомогою ЕОМ статистичних даних про процеси, які проходять в системі, що моде­люється. Для отримання необхідних результатів статистичні дані

57

опрацьовуються і класифікуються з використанням методів математич-ної статистики. Позитивна властивість статистичного моделювання -, це універсальність, яка гарантує принципову можливість аналізу систем будь-якої складності з будь-яким ступенем деталізації досліджуваних явищ. Недолік статистичного моделювання — це трудомісткість проце­су моделювання, тобто необхідність виконання великої кількості опера­цій над числами, і частковий характер результатів, який не розкриває залежності, а лише визначає її в окремих апріорно визначених точках. Імітаційні експерименти широко використовують у практиці створення й дослідження складних технічних систем, коли реальний експеримент неможливий.

Натурним моделюванням називають проведення досліджень на ре­альному об'єкті (системі) з наступною обробкою результатів експери­менту на основі теорії подібності. При функціонуванні технічної систе­ми відповідно до поставленої мети вдається виявити закономірності проходження реального процесу. Необхідно відзначити, що такі різно­видності натурного експерименту, як виробничий експеримент і комп­лексні випробування, мають високий ступінь достовірності. Методи на­турного моделювання базуються на вимірюванні характеристик проце­сів, що проходять в реальних системах, й обробці результатів вимірю­вання з метою виявлення тих чи інших закономірностей, які цікавлять дослідника. Експериметальні дослідження дають найбільш достовірну інформацію, але вони носять частковий характер. Натурне моделювання може проводитися також на фізичних моделях, які моделюють реальні процеси. Фізичні моделі будуються на основі теорії подібності.

Напівнатурне моделювання складних технічних систем здійснює­ться шляхом використання їх комбінованих моделей. У структуру таких моделей включають математичні співвідношення, які описують функці­онування окремих елементів (підсистем), а також реальні елементи (під­системи) або їх фізичні моделі, що є складовими елементами дослід­жуваної ситеми. В процесі дослідження комбінованих моделей може бути досягнута оптимальна взаємодія між обчислювальним і натурним експериментами. Методи напівнатурного моделювання ефективно ви­користовують при дослідженнях складних технічних систем, які скла­даються з елементів різної фізичної природи. Ці методи враховують пе­реваги математичного й натурного моделювання.

58

3.2. Фізичне моделювання 3.2.1. Основні поняття фізичного моделювання

у процесі проведення експериментальних досліджень можуть бу­ти використані натурні об'єкти і їх моделі. В натурному експерименті засоби експериментального дослідження взаємодіють безпосередньо з об'єктом дослідження. В модельному експерименті дослідження прово­дять не з самим об'єктом, а з його замінником-моделлю. Модель тут відіграє подвійну роль. По-перше, вона являє собою об'єкт безпосеред­нього екпериментального дослідження. По-друге, по відношенню до об'єкта, який вивчається, модель виступає як засіб експериметального дослідження.

В експериметальних дослідженнях досить широко застосовується фізичне моделювання технічних систем. Цим методом користуються при дослідженні складних явищ, коли неможливо побудувати задовіль­ну математичну модель, або для перевірки адекватності математичної моделі.

Фізичне моделювання зберігає фізичну природу явищ, але змінює їх масштаб. Сенс фізичного моделювання полягає в тому, щоб за резуль­татами дослідів на моделях можна було достовірно оцінити характер ефектів і кількісні взаємозв'язки між величинами, які визначають фізич­но подібні явища в натурних умовах.

Основою фізичного моделювання є теорія подібності, яка спираєть­ся на аналіз розмірностей. Об'єкти (явища, процеси, системи і т.ін.) є по­дібними, якщо у відповідні моменти часу у відповідних точках об'єктів значення змінних величин, що характеризують стан одного об'єкта (нату­ри), пропорційні відповідним значенням величин іншого об'єкта (моделі). З цього визначення випливає, що в подібних об'єктах характеристики на­турного об'єкта можуть бути отримані простим перерахунком із характе­ристик модельного об'єкта, що визначаються, як правило, експеримен­тально. Для всіх величин певної розмірності таким множником є коефіці­єнт подібності (множник масштабного перетворення).

До фізичного моделювання належать механічні, гідравлічні, елект­родинамічні, теплові та інші різновидності моделювання. Окремими ви­дами фізичної подібності є: геометрична подібність (подібність геомет­ричних елементів фігур або тіл); кінематична подібність (подібність швидкостей для розглядуваних рухів); динамічна подібність (подібність систем діючих сил або силових полів різної фізичної природи — сили ва­ги, сили тиску тощо).

59

Механічна подібність уключає в себе геометричну кінематичну й динамічну подібності. Електродинамічна подібність характеризується подібностями струмів, напруг, навантажень, по­тужностей, полів електромагнітних сил тощо.

Для подібних об'єктів загальними умовами є такі умови: мо­дель і натурний об'єкт повинні бути геометрично подібними; діючі на модель навантаження повинні бути подібними навантаженням на натурні об'єкти; безрозмірні величини (коефіцієнт Пуассона, ко­ефіцієнт тертя, відносна деформація тощо) для моделі та натурного об'єкта повинні бути однаковими; матеріали моделі й натурного об'єкта можуть бути різними, але в досліджуваній галузі зв'язок на­пружень і деформацій має відповідати закону Гука.

3.2.2. Коефіцієнти і критерії подібності

При механічному моделюванні розрізняють просту та розши­рену подібність. При простій подібності коефіцієнти подібності для величин, що мають однакову розмірність (наприклад, геометричні розміри), повинні бути однаковими. При розширеній подібності вказані величини можуть мати різні коефіцієнти подібності.

Методика вивчення коефіцієнтів подібності в загальному ви­падку має такий вигляд. Наприклад, у механіці основними ве­личинами вважають довжину /, час і і масу т. їх коефіцієнти

подібності ^^//=/_н//_м, У_г=/_Н//_М, Ут^=/кн/^гам вибираються довільно, де /_н, і_н, т^ — основні величини натурного об'єкта, 4і> ^м» Щл — відповідні величини моделі. В цих і подальших залеж­ностях індекси "н" і "м" відносяться відповідно до параметрів натур­ного об'єкта й моделі.

Інші коефіцієнти подібності можуть бути отримані на основі фізичних законів. Для швидкості У_н = І_и/і_н і У_м = /_МД_М коефіцієнт подібності У_у = у_н/у_м = /_н*м/4Аі можна визначити через ко­ефіцієнти подібності довжини V, і часу V, у вигляді У_у = Уі/Уі ■ Відповідно до другого закону Ньютона сила Р зв'язана з приско­ренням и> співвідношенням Р = тю, то за аналогією з коефіцієнтом подібності для швидкості коефіцієнт подібності для сили виз­начається залежністю \>р = У_тУі/У( ■ Таким же чином можуть бу­ти знайдені коефіцієнти подібності для інших фізичних величин.

При фізичному моделюванні експериментальні результати і висновки узагальнюються за допомогою критеріїв подібності-

60

Кількість таких критеріїв може бути значно меншою, ніж кількість

аоаметрів, що описують той чи інший процес. Скоротити кількість

араметрів, що описують будь-яке явище або процес, можна шляхом

.. ррупування у безрозмірні комплекси, які складаються з розмірних

величин, виходячи з природи й умов досліджуваного явища або

процесу- Ці безрозмірні комплекси називають критеріями

подібності-

Рівність усіх однакових критеріїв подібності для двох фізичних явищ (процесів, систем) — необхідна і достатня умова їх подібності. Це визначається з пропорційності для подібних явищ, що їх опису­ють і належать до критерію подібності. Розмірні фізичні параметри, які входять в критерії подібності, можуть значно відрізнятися між собою. Однаковими повинні бути лише безрозмірні критерії подібності, що характеризують натурний об'єкт і модель. Ця вла­стивість подібних явищ складає основу фізичного моделювання ре­альних об'єктів. Якщо рівняння, що описують фізичне явище, відомі, то критерії подібності формуються шляхом приведення цього рівняння до безрозмірного критеріального виду.

У механіці для моделювання процесів використовують ряд класичних критеріїв подібності. Відомий закон Ньютона, який опи­сує рух матеріальної точки при дії сили Р, у диференціальній формі має вигляд

сії²

(З.і)

де т - маса матеріальної точки; х - її координата; і - час. Урахо­вуючи те, що символи диференціювання й інтегрування, які входять у початкові рівняння, можуть бути відкинуті, бо вони не мають розмірності, рівняння (3.1) можна записати в такому виді

X Р

Т = —■ (3-2)

Г т

Тепер, розділивши праву частину рівняння (3.2) на ліву, отримаємо іЩитєрій подібності Ньютона

К_и = = Ісіет, (3.3)

тх Де Ійет — відповідно однаково для всіх об'єктів, що розглядаються.

61

Для обертального руху

де ф - кут повороту; М, 3 - відповідно крутний момент і момент інерції тіла відносно осі обертання. Аналогічно критерій подібності Ньютона має вигляд

=Іает. (3.4)

Для системи матеріальних точок, між якими діє зв'язок, можна записати: якщо швидкості тіл із різними масами, що переміщуються на однакові відстані, однакові, то діючі на них сили пропорційні відповідним масам тіл. При вільному падінні тіл закон Ньютона можна записати у вигляді співвідношення

а²х

т—— =т$, аі

де # - прискорення вільного падіння. Тоді для вільного падіння тіл критерій подібності має такий вираз

К_г = -Аг =Мет. (3.5)

&² Помноживши цей критерій на квадрат критерію гомохронності

Кцо ~ VIІ х (критерій подібності механічного руху), отримаємо критерій подібності, який у літературі відомий під назвою критерію Фруда

V²

К_Рг = — =Ісіет. (3.6)

§х

Визначимо критерій подібності пружних тіл. Пружну силу де­формованого елемента механічної системи (наприклад, при розтягу ванні пружного стержня) можна записати у вигляді

Р = Е5, (3.7)

де Е - модуль пружності першого роду; 5 - відповідна площа попе­речного перерізу деформованого елемента. Крім того, згідно із за­коном Ньютона

62

(І²Х

Р = т—_Т. (3.8)

4 г

Прирівнявши вирази сил із залежностей (3.7) і (3.8), одержимо

сі²х

аг

Замінивши в цьому рівнянні т = Зхр (де р - густина матеріалу еле­мента), будемо мати

сі²х

Застосувавши правило визначення критерію подібності, отримаємо

Еі² К_Е=-^-=Ісіет. (3.9)

х²р

Розділивши квадрат критерію гомохронності К_но на критерій (3.9), будемо мати

К² V²

Добувши квадратний корінь із цього виразу, знайдемо критерій подібності, який має назву критерію Коші

^КСО = ^=^ = ^Мет ■ (ЗЛО)

4^ЕІР

Величина т]Е/р являє собою швидкість розповсюдження звукових

(коливальних) хвиль у пружному середовищі.

Кожний із критеріїв подібності має свій фізичний зміст. Так, останній критерій подібності показує співвідношення між швидкістю руху тіла й швидкістю розповсюдження звукових хвиль у пружному середовищі.

Критерії подібності фізичних явищ, процесів, технічних систем та ін. незалежні один від одного і їх поєднання дає нові критерії, які відображають ті чи інші фізичні властивості.

63