Порядок виконання завдання

1.   Знайти векторну оцінку * за методом найменших квадратів, для цього треба виконати обчислення за формулою (4.5).

2. Проаналізувати достовірність моделі та її параметрів – необхідно розрахувати:

• коефіцієнт детермінації;

• скоригований коефіцієнт детермінації;

• множинний коефіцієнт кореляції R;

• парні коефіцієнти кореляції;

• частинні коефіцієнти кореляції;

• стандартні похибки оцінок параметрів моделі (порівняти з величиною оцінок);

• перевірити значущість кожної зі змінних за t-критерієм Ст’юдента;

• знайти інтервали надійності для оцінок параметрів моделі.

3. Відобразити модель на графіку.

4. Зробити економічний висновок.

№ заводу	Продуктивність праці, тис.грн/чол.	Простої основного обладнання, год/рік	Втрати робочого часу, год/рік
	Y	Х1	Х2
1	2,4	67	46
2	3,6	64	33
3	8,2	8	26
4	6,7	25	18
5	7,5	7	26
6	7,2	28	16
7	7,5	17	21
8	8,0	12	19
Середнє значення	6,39

Ми занесли дані у відповідні стовпчики таблиці. Остання клітинка стовпчика Y містить середнє значення змінної Y.

Для зручності у моделях множинної регресії розглядають множину даних по кожному зі змінних як вектор-стовпчик, а вільному членові відповідає вектор, що складається лише з одиниць.

; ; ; . . . ; .

– вектор-стовпець залежної змінної.

^– вектор параметрів.

Нам необхідно знайти векторну оцінку параметрів теоретичної моделі (*) за методом найменших квадратів. Для цього треба виконати обчислення за формулою (4.5), яка в нашому випадку буде мати вигляд:

^=(X'X)^–1 · X'Y

Рішення.

1. Складемо матрицю X. Перший її стовпчик містить лише одиниці (він відповідає незалежній змінній Х₀ – вільному членові); інші стовпчики є відповідно векторами Х₁, Х₂.

Матриця Х
	1	67	46
	1	64	33
	1	8	26
Х =	1	25	18
	1	7	26
	1	28	16
	1	17	21
	1	12	19

Матриця Y
	2,4
	3,6
	8,2
Y =	6,7
	7,5
	7,2
	7,5
	8

2. Далі виконуємо операції над матрицями відповідно формули (4.5).

=ТРАНСП(C29:E36)
	1	1	1	1	1	1	1	1
Х′ =	67	64	8	25	7	28	17	12
	46	33	26	18	26	16	21	19

Транспонування матриці просто реалізувати за допомогою “майстра функцій f” (операція ТРАНСП(.) у категорії “Ссылки и массивы“). Звернення до математичних та статистичних функцій Excel (див. додаток 6).

=МУМНОЖ(B41:I43;C29:E36)

	8	228	205
Х′  Х =	228	10540	7067
	205	7067	5939

Функція Microsoft Excel МУМНОЖ(. _, .) – знаходить добуток матриць. Для цього треба:

1) відмітити поле, де буде знаходитись результат добутку матриць;

2) ввійти у "майстер функцій f". У категоріях вибираємо "математичні", а в функціях – МУМНОЖ. Вводимо адреси матриць, добуток яких знаходимо;

3) для того, щоб отримати на екрані значення добутку матриць, натискаємо спершу клавішу F2, а потім Ctrl+Shift+Еnter.

=МОБР(D46:F48)

Матриця похибок

	1,2427	0,0093	–0,0540
(Х'  Х)–1 =	0,0093	0,0005	–0,0010
	–0,0540	–0,0010	0,0032

Функція Microsoft Excel МОБР(.) – знаходить матрицю, обернену до квадратної матриці. Процедура знаходження оберненої матриці аналогічна процедурі мумнож.

=МУМНОЖ(B41:I43;H29:H36)

	51,1
Х'  Y =	1101,9
	1182,7

=МУМНОЖ(D51:F53;D56: D58)

	9,93
=	–0,07
	–0,06

Отже, наша регресійна модель має вигляд:

Yрозр = 9,93 –0,07X1 –0,06X2

3. Далі знаходяться відповідні значення Y_розр за формулою Y= Х^ і заносяться до стовпчику "1" .

=МУМНОЖ(C29:E36;D61:D63)

Yрозр	Yфакт – Yрозр	Yфакт – Yсер	Yрозр – Yсер
1	2	3	4
2,48	–0,08	–3,99	–3,912
3,48	0,12	–2,79	–2,905
7,78	0,42	1,81	1,393
7,10	–0,40	0,31	0,710
7,85	–0,35	1,11	1,462
7,01	0,19	0,81	0,626
7,47	0,03	1,11	1,079
7,93	0,07	1,61	1,547
	0,516	32,79	32,27	=СУММКВ(.)

4. Стовпчик "2" містить залишки регресії, обчислені за формулою Y_факт – Y_розр .

5. Стовпчик "3" складається з елементів, що знаходяться як Y_факт – Y_сер .

6. Елементи стовпчика "4" знаходяться як Y_розр – Y_сер .

7. Реалізуємо обчислення суми квадратів елементів кожного з цих стовпчиків за допомогою процедури "майстра функцій f" СУММКВ(.), знаходимо значення суми квадратів відхилень.

8. Проаналізуємо достовірність моделі та її параметрів:

Коефіцієнт детермінації моделі обчислюється за формулою (4.6)

В економічних розрахунках вважається прийнятним такий зв’язок між факторами, при якому r² > 0,7.

Скоригований коефіцієнт детермінації (4.9):

С коригований коефіцієнт детермінації не перевищує одиниці

Справедлива нерівність:

0,978 < 0,984

9. Множинний коефіцієнт кореляції R розраховується за формулою (4.12):

.

що свідчить про вельми високий зв’язок між показниками Y та X₁ , X₂ .

Парні коефіцієнти кореляції розраховують за формулою матриці коефіцієнтів парної регресії між змінними:

Елементи нормалізованих векторів розраховують за формулами:

Дисперсії змінних мають такі зна­чення:

Тоді знаменники для нормалізації кожної змінної будуть такими:

y^* : ;

x_k^* : ;

x_j^* : .

-3,9875	38,5	20,375	15,9002	1482,25	415,141	-0,6964	0,6056	0,7780
-2,7875	35,5	7,375	7,7702	1260,25	54,391	-0,4868	0,5584	0,2816
1,8125	-20,5	0,375	3,2852	420,25	0,141	0,3165	-0,3224	0,0143
0,3125	-3,5	-7,625	0,0977	12,25	58,141	0,0546	-0,0551	-0,2912
1,1125	-21,5	0,375	1,2377	462,25	0,141	0,1943	-0,3382	0,0143
0,8125	-0,5	-9,625	0,6602	0,25	92,641	0,1419	-0,0079	-0,3675
1,1125	-11,5	-4,625	1,2377	132,25	21,391	0,1943	-0,1809	-0,1766
1,6125	-16,5	-6,625	2,6002	272,25	43,891	0,2816	-0,2595	-0,2530
Усього			32,79	4042	685,88

Матриця нормалізованих змінних:

	-0,6964	0,6056	0,7780
	-0,4868	0,5584	0,2816
	0,3165	-0,3224	0,0143
X* =	0,0546	-0,0551	-0,2912
	0,1943	-0,3382	0,0143
	0,1419	-0,0079	-0,3675
	0,1943	-0,1809	-0,1766
	0,2816	-0,2595	-0,2530

Матриця, транспонована до X^*:

	-0,6964	-0,4868	0,3165	0,0546	0,1943	0,1419	0,1943	0,2816
X*' =	0,6056	0,5584	-0,3224	-0,0551	-0,3382	-0,0079	-0,1809	-0,2595
	0,7780	0,2816	0,0143	-0,2912	0,0143	-0,3675	-0,1766	-0,2530

Запишемо шукану кореляційну матрицю:

	1	–0,9736	–0,8451
rxx =	–0,9736	1	0,7354
	–0,8451	0,7354	1

Кожний елемент цієї матриці характеризує тісноту зв'язку однієї змінної з іншою.

Оскільки діагональні елемен­ти характеризують тісноту зв'язку кожної змінної з цією самою змінною, то вони дорівнюють одиниці. Решта елементів матриці r_хх такі:

;

;

.

Вони є парними коефіцієнтами кореляції між змінними.

Користуючись цими коефіцієнтами, можна зро­бити висновок, що між змінними y та x_j – високий зв'язок; між змінними y та x_k існує досить високий кореляційний зв'язок

Частинні коефіцієнти кореляції, як і парні, характеризують тісноту зв’язку між двома змінними, але за умови, що решта змінних сталі.

Розрахунок частинних коефіцієнтів кореляції базується на обернений матриці до матриці r_xx (матриця С):

,

де с_kj – елемент матриці С, що міститься в k-му рядку i j-му стовпці; с_kk і с_jj – діагональні елементи матриці С.

Розрахуємо матрицю, обернену до матриці r_xx :

	63,50	48,70	17,85
C =	48,70	39,52	12,09
	17,85	12,09	7,20

Матриця C – симетрична, і її діагональні елементи завжди мають бути додатними.

Визначимо частинні коефіцієнти кореляції:

r yxk =	–0,9721
r yxj =	–0,8351
r xk xj =	–0,7168

Частинні коефіцієнти кореляції характеризують рівень тісноти зв'язку між двома змінними за умови, що решта змінних на цей зв'язок не впливає. Частинні коефіцієнти кореляції за модулем нижчі, ніж коефіцієнти парної кореляції, бо на їхній рівень не впливає решта змінних, які мають зв'язок із цими двома.

Коефіцієнт парної кореляції r yx_k близький до одиниці, тому можна зробити висновок, що рівень тісноти зв'язку між двома змінними (y та x_k) досить високий за умови, що решта змінних на цей зв'язок не впливає.

10. Перевіримо значимість зв'язку між змінними моделі.

F0,05табл =	3,97
F0,05табл <	Fрозр

Модель приймаємо – припускаємо присутність лінійного зв'язку для рівня надійності =0,95 .

11. Стандартні похибки оцінок параметрів з урахуванням дисперсії залишків:

З матриці похибок:
С00=	1,2427
С11=	0,0005
С22=	0,0032

С тандартні помилки параметрів не перевищують абсолютні значення цих параметрів, то це означає, що оцінки параметрів є незміщеними відносно їх істотних значень.

12. Перевірка значимості коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі множинної регресії.

Перевірка значимості коефіцієнта детермінації

Висувається нульова гіпотеза H₀: R²=0,

або H₀ : b₁ = b₂ = ... = b_n = 0.

Альтернативна до неї є Н_А: (b_j ≠ 0)

За отриманими в моделі значеннями коефіцієнта детермінації R² обчислюємо експериментальне значення F-статистики (2.12):

Визначимо табличне значення F-критерію Фішера:

Fтабл =	2,5705
	==FРАСПОБР(0,05;5;7)

Порівняємо з табличним значенням розподілу Фішера при рівні значущості a = 0,05:

F_експ > F_табл

Нульова гіпотеза відхиляється.

Відхи­лення нуль-гіпотези свідчить про значимість коефіцієнта детермінації.

Перевірка значимості коефіцієнта кореляції

Коефіцієнт кореляції, як вибіркова характеристика, перевіряється на значущість за допомогою t-критерію Ст’юдента.

Задамо рівень значущості =0,05 та визначимо табличне значення t-критерію Ст’юдента:

tтабл =	2,570581835
	=СТЬЮДРАСПОБР(0,05;5)

Величина експериментального значення t-статистики перевищує табличне:

|t_експ| > t_табл

17,68 > 2,57

Тобто можна зробити висновок, що коефіцієнт кореляції достовірний (зна­чущий), а зв'язок між залежною змінною та всіма незалежними фак­торами суттєвий.

Перевірка значимості оцінок параметрів моделі

множинної регресії

Для оцінки значимості кожного параметра моделі перевіряємо їх за допомогою t-критерію Ст’юдента:

д е с_jj – діагональний елемент матриці (Х' Х)^-1 ;

– стандартна похибка оцінки параметра моделі.

Статистичну значущість кожного параметра моделі можна пере­вірити за допомогою t-критерію. При цьому нульова гіпотеза має вигляд

Н₀ : _j = 0,

альтернативна

Н_А : _j ≠ 0.

Будемо наслідувати відповідний алгоритм. Задамо рівень значущості =0,05, визначимо табличне значення t-критерію Ст’юдента (t_табл =2,5058) і розрахуємо значення t-критерію для кожного параметра.

Перевірка гіпотези Н0: 0 =0
tспос =	27,7222
Перевірка гіпотези Н0: 1 =0
tспос =	–9,2590
Перевірка гіпотези Н0: 2 =0
tспос =	–3,3946

Якщо | tспос | < tтабл , то приймаємо гіпотезу Н0.

Якщо | tспос | > tтабл , то відхиляємо гіпотезу Н0.

Перевіряємо виконання нерівності | t_спос | < t_табл робимо висновки про стійкість впливу відповідного параметру на залежну змінну Y:

для 0: |27,7222| > 2,57058 → Н0 (0=0) відхиляємо; змінна X0 (вільний член) є значущою;

для 1: |–9,2590| > 2,57058 → Н0 (1=0) відхиляємо; змінна Х1 (простої основного обладнання) є значущою;

для 2: |–3,3946| > 2,57058 → Н0, (β2=0) відхиляємо; змінна Х2, (втрати робочого часу) є значущою.

13. Знайдемо інтервали надійності для кожного окремого параметра за формулою:

Оскільки оцінки параметрів моделі β_j*, t_спос і стандартні похибки параметрів моделі обчислені нами у попередніх пунктах, достатньо просто скористатися формулою (4.17) для знаходження інтервалів:

= 10,2 – 27,7222 * 0,266 < 0 < 10,2 + 27,7222 * 0,266

= –0,0662 – 9,259 * 0,005 < 1 < –0,0662 + 9,259 * 0,005

= –0,07 – 3,3946 * 0,013 < 2 < –0,07 + 3,3946 * 0,013

P (0  ₀  19,86) = 0,95

P (0  ₁  –0,14) = 0,95

P (0  ₂  –0,12) = 0,95

14. Обчислимо прогнозні значення Y_пр:

У рівняння Y_розр = 10,20 – 0,0662X₁ – 0,07X₂ підставимо прогнозні значення фактору Х_пр = (1, 7, 16), що лежить за межами базового періоду (точковий прогноз):

Y_пр = 10,2 – 0,0662  7 – 0,072  16 = 8,57

Тоді M(Y_пр) можна розглядати як оцінку прогнозного значення математичного сподівання та індивідуального значення продуктивності праці при відомих параметрах простоїв основного обладнання (Х₁) та втрат робочого часу (Х₂).

В изначимо дисперсію прогнозу (2.17) з урахуванням матриці похибок, яка для прикладу має вигляд:

(Х'  Х)–1 =	1,24268	0,00929	-0,05395
	0,00929	0,00054	-0,00096
	-0,05395	-0,00096	0,00318

Е лементи дисперсійно-ковартційної матриці, які розраховуються за формулами і мають значення:

	0,12834	0,00096	-0,00557
var (В) =	0,00096	0,00006	-0,00010
	-0,00557	-0,00010	0,00033

Хпр =	1
	7
	16

Х'пр =

1

7

16

Х'пр * var (В) =

0,04590

-0,00024

-0,00102

Знайдемо дисперсію прогнозу:

Середньоквадратична (стандартна) похибка прогнозу:

15. Довірчий інтервал для прогнозних значень:

16. Інтервальний прогноз математичного сподівання M(Y_np) буде в межах:

8,46 – 2,57058  0,167 ≤ M(Y_пр) ≤ 8,46 + 2,57058  0,167

8,0348

≤ M(Yпр) ≤

8,8935

17. Визначимо інтервальний прогноз індивідуального значення Y_пр .

Для цього обчислимо дисперсію та стандартну помилку прогнозу індивідуального значення Y_пр:

8,46– 2,57058  0,3622 ≤ Y_пр  ≤ 8,46 + 2,57058  0,3622

7,5332

≤ Yпр ≤

9,3951

18. Графічне зображення моделі ґрунтується на побудові ліній регресії, в прямокутних координатах Y – x₁ та Y – x₂.

При цьому масштаб треба обрати таким, щоб мінімальні та максимальні значення x₁ та x₂ співпадали між собою.

Лінія регресії Y=f(X₁) при X₂=const відображає вплив першого фактора х₁ на продуктивність праці при постійному значенні другого х₂ (середнє значення х₂).

Лінія регресії Y=f(X₂) при X₁=const відображає вплив другого фактора х₂ на продуктивність праці при постійному значенні х₁ (середнє значення х₁).

	X1	X2	Y=f(X1) при X2=const	Y=f(X2) при X1=const	Середні значення
min	7	16	7,88	7,08	X1	X2
max	67	46	3,90	4,91	29,50	25,625