Метод рішення

Регресійні залежності, нелінійні відносно параметрів не допускають безпосереднього застосування методу найменших квадратів. Щоб зробити це можливим, початкові дані спостережень піддають перетворенням з метою лінеаризації залежностей. У випадку, якщо задана функція має вигляд Y = А₀  Х₁^А1  Х₂^А2 , можна перейти до лінійного шляхом логарифмування:

lnY = lnА₀ + А₁  lnХ₁ + А₂  lnХ₂ .

Застосовуючи заміну Y = lnY, Х₁ = lnХ₁ , Х₂ = lnХ₂ , А₀ = lnА₀, отримуємо лінійну залежність

Y = А₀ + А₁  Х₁ + А₂  Х₂

Для одержання коефіцієнтів регресії складемо і вирішимо систему нормальних рівнянь (на базі матриці логарифмів):

 Y = А₀  N + А₁ Х₁ + А₂ Х₂

 Y Х₁ = А₀ Х₁ + А₁ (Х₁)² + А₂ Х₁ Х₂

 Y Х₂ = А₀ Х₂ + А₁  Х₁ Х₂ + А₂ (Х₂ )²

У результаті розрахунку одержуємо коефіцієнти регресії А₀, А₁, А₂ і будуємо рівняння зв'язку:

Y = А₀ + А₁  Х₁ + А₂  Х₂

Наприклад: А₀ = 1,11, А₁ = 0,124, А₂ = –0,365,

Звідси: Y = 1,11 + 0,124 X₁ – 0,365 X₂ ,

Виробнича функція буде мати вигляд:

Y = exp(1,11)  Х₁ ^0,124  Х₂ ^–0,365

Y = 3,034  Х₁ ^0,124  Х₂ ^–0,365

Eкономічний аналіз отриманих результатів

Розглянемо виробничу функцію у загальному вигляді:

Y = a  Х₁^a  Х₂^b ,

Коефіцієнти  та  називаються коефіцієнтами еластичності.

Економічний аналіз моделі проводиться на базі коефіцієнтів еластичності, а також сумісного їх впливу на Y : (+b).

Якщо коефіцієнт еластичності має знак ””, це свідчить про існування оберненого зв’язку.

Коефіцієнт еластичності a показує на скільки збільшиться у процентах виробнича функція Y, якщо фактор Х₁ збільшиться на 1% при незмінному факторі Х₂.

Коефіцієнт еластичності b показує на скільки зменьшиться у процентах виробнича функція Y, якщо фактор Х₂ збільшиться на 1% при незмінному факторі Х₁.

Якщо (a + b)  1, в цьому випадку можна говорити про зростаючу ефективність факторів, тобто темпи зростання Y будуть вище ніж темпи зростання виробничих ресурсів ( Х₁ та Х₂ ).

Якщо (a + b)  1, то Y зростає нижчими темпами, ніж темпи зростання ресурсів ( Х₁ та Х₂ ).

Якщо (a + b) = 1, то темпи зростання Y дорівнює темпам зростання Х₁ і Х₂ (ефектиність факторів постійна).

Задача.

Побудувати виробничу функцію виду

де Y – обсяг випущеної продукції, тис. грн.; Х₁ – вартість основних засобів, млн. грн.; Х₂ – чисельність працюючих, чол.

Знайти числові параметри цієї функції А a і b.

Провести економічний аналіз впливу факторів Х₁ та Х₂ на Y, використовуючи як окремі коефіцієнти еластичності  і b так і об’єднані (a + b).

ПОХІДНІ ДАНІ:

Спосте-реження	Функція	1-й аргумент	2-й аргумент
	Y	X1	X2		ln Y	ln X1	ln X2
1	30,1	10,3	51		3,4	2,33	3,93
2	32,3	11,7	52		3,48	2,46	3,95
3	34,7	11,8	50		3,55	2,47	3,91
4	38,1	11,9	51		3,64	2,48	3,93
5	40,5	12	53		3,7	2,48	3,97
6	41,7	12,5	55		3,73	2,53	4,01
7	40,8	12,15	50		3,71	2,5	3,91
8	41,9	12,5	51		3,74	2,53	3,93
9	42	13	50		3,74	2,56	3,91
10	43	12,5	49		3,76	2,53	3,89
11	44,5	13	48		3,8	2,56	3,87
12	46,1	13,1	46		3,83	2,57	3,83
13	47,1	13,2	40		3,85	2,58	3,69
14	49	13,4	30		3,89	2,6	3,4
15	49,9	15	30		3,91	2,71	3,4

Логарифмуємо функцію

lnY = ln А +   ln Х₁ +  × ln Х₂,

Заміняємо логарифми:

lnY = Y, ln Х₁ = Х₁, ln Х₂ = Х₂, ln А = А ,

Одержимо:

Y = А +  × Х₁¢ + b × Х₂¢

Складаємо систему нормальних рівнянь:

 Y¢ = А¢ × n + a × S Х₁¢+ b × S Х₂¢

S Y¢ × Х₁¢ = А¢ × S Х₁¢ + a × S (Х₁¢)² + b × S Х₁¢ × Х₂¢

S Y¢ × Х₂¢ = А¢ × S Х₂¢ + a × S (Х₁¢ × Х₂¢) + b × S (Х₂¢)²

Результатом розрахунку буде: А¢ = –0,37; a = 1,61; b = 0,003.

Y¢ = –0,37 + 1,61 Х₁ + 0,003 Х₂

Ступінна модель:

Y_роз = exp (–0,37)  Х₁^1,16  Х₂^0,003

Y_роз = 0,694  Х₁^1,16  Х₂^0,003

Аналіз.

Коефіцієнт еластичності  = 1,16 відображає еластичність випуску продукції відносно вартості основних засобів підприємства при незмінній чисельності робочої сили.

Якщо збільшити вартість основних засобів підприємства на 1%, то слід очікувати росту обсягу випуску продукції на 1,16 %.

Коефіцієнт еластичності  = 0,003 відображає еластичність випуску продукції відносно чисельності працюючих при незмінній вартості основних засобів, тобто, якщо збільшити чисельність працюючих на 1 %, то слід очікувати підвищення випуску продукції на 0,003 %.

Сумісний вплив (a + b)  1: (1,16 + 0,003) = 1,163  1. Звідси можна сказати про зростаючу ефективність факторів, тобто темпи зростання Y (обсяг випущеної продукції) вище ніж темпи зростання Х₁ та Х₂ .

5.2. Моделі попиту та пропозиції

Функція попиту на продукцію виражає залежність кількості продукції, яка використовується споживачами від рівня цін на продукцію.

d

d = f (p)

p

Залежність між ціною і попитом на окремі види продукції є оберненою.

Функція попиту може бути макроекономічною, якщо ця функція пов’язана з моделюванням всієї сфери споживання продукції.

Мікроекономічна функція попиту пов’язана з дослідженням і описує попит на окремі види продукції індивідуальними споживачами.

Еластичність попиту по ціні визначається розрахунком коефіцієнту еластичності:

Е_d,p = (d / d : p / p)

де d – початковий попит; p – початкова ціна; d – зміна попиту; p – зміна ціни.

Функція пропозиції товару показує в загальному вигляді залежність кількості пропонуємої продукції на ринку від рівня цін на неї.

S

S = g(p)

p

Коефіцієнт еластичності пропозиції по ціні:

Е_s,p = (s / s : p / p)

s – пропозиція.

d, S S = g(p)

P_e – рівноважна ціна.

d = f (p)

P_e p

В економіці на попит і пропозицію товарів впливає сума економічних факторів: розмір ринку, доходи населення, релігія, національні традиції та ін.

Прикладом багатофакторної моделі попиту є модель такого типу:

d = f (p, c, v₁, v₂, v₃, k)

де d – модель попиту; p – ціна на продукцію; c – середній рівень доходів населення; v₁, v₂, v₃ – рівень цін на сукупні товари; k – кількість споживачів.

Таким чином, багатофакторні моделі необхідні для більш повного опису залежності попиту на окремі види продукції від суми додаткових змінних.

Багатофакторна модель пропозиції:

S = g (p, t, v₁, v₂, n)

де S – пропозиція; p – ціна продукції; t – враховує зміни в технології виробництва; v₁, v₂ - зміна цін на окремі види ресурсів; n – рівень податків.

5.3. Приклад дослідження попиту на продукцію.

Задача.

Побудувати модель попиту на пиво вигляду

де: Y – обсяг реалізації пива, млн. дал, X₁ – ціна за 1 дал пива, грн., X₂ – дохід на душу населення, тис. грн.

Знайти числові параметри цієї функції А a і b.

Провести економічний аналіз впливу факторів Х₁ та Х₂ на Y.

ПОХІДНІ ДАНІ:

Спосте-реження	Функція	1-й аргумент	2-й аргумент
	Y	X1	X2		ln Y	ln X1	ln X2
1	4,9	2,5	4,06		1,59	0,92	1,40
2	3,6	3,1	4,06		1,28	1,13	1,40
3	4,5	2,9	4,13		1,50	1,06	1,42
4	3,4	2,9	4,13		1,22	1,06	1,42
5	4,3	3	4,19		1,46	1,10	1,43
6	4	3,3	4,26		1,39	1,19	1,45
7	3,6	4,5	4,32		1,28	1,50	1,46
8	4,3	3,4	4,39		1,46	1,22	1,48
9	5,3	4	4,52		1,67	1,39	1,51
10	4,6	3,8	4,52		1,53	1,34	1,51
11	4,5	3,4	4,71		1,50	1,22	1,55
12	3,8	3,4	4,84		1,34	1,22	1,58
13	5	3,7	5,16		1,61	1,31	1,64
14	4,8	4,1	5,16		1,57	1,41	1,64
15	5	2,7	5,16		1,61	0,99	1,64

Результатом розрахунку буде: А¢ = 0,3617; a = –0,17; b = 0,87.

Y¢ = 0,3617 –0,17 Х₁ + 0,87 Х₂

Y = exp (0,3617) × Х₁^–0,17 × Х₂^0,87

Згідно з даними функція попиту на пиво має вигляд:

Y = 1,44 × Х₁^–0,17 × Х₂^0,87

Аналіз і висновки.

Виходячи з моделі еластичність попиту на пиво залежно від ціни 1 дал пива дорівнює –0,17. Це означає, що за інших рівних умов (при постійному рівні доходів на душу населення) підвищення ціни за 1 дал пива на 1 % призведе до зниження попиту на пиво на 0,17 %.

Еластичність попиту на пиво в залежності від доходів населення дорівнює 0,87. Це означає, що за інших рівних умов (особливо при незмінних цінах на пиво) збільшення доходу на душу населення на 1 % сприятиме підвищенню попиту на пиво на 0,87 %.

Порівняльний аналіз впливу ціни за 1 дал пива та доходу на душу населення на еластичність попиту на пиво показує, що другий чинник впливовіший ніж перший (│0,87│>│–0,17│).

Аналіз сумісного впливу обох чинників на попит свідчить про те, що в умовах одночасного зростання на 1 % ціни за 1 дал пива та доходу на душу населення на 1 % можливе підвищення попиту на пиво буде дорівнювати (0,87–0,17) = 0,7 %.

5.4. Приклад дослідження пропозиції товару на ринок.

Задача.

Побудувати економетричну модель пропозиції молочних продуктів вигляду

де: Y – обсяг переробленого молока, млн.л, X₁ – ціна за 1 л молока, грн., X₂ – витрати на податки, млн.грн.

Знайти числові параметри цієї функції А, a і b.

Провести економічний аналіз впливу факторів Х₁ та Х₂ на Y.

ПОХІДНІ ДАНІ:

Спосте-реження	Функція	1-й аргумент	2-й аргумент
	Y	X1	X2		ln Y	ln X1	ln X2
1	3,71	1,2	0,6		1,31	0,18	–0,51
2	4,72	1,2	0,6		1,55	0,18	–0,51
3	5	1,3	0,5		1,61	0,26	–0,69
4	5,67	1,6	0,5		1,74	0,47	–0,69
5	6,03	1,6	0,63		1,80	0,47	–0,46
6	6,74	1,6	0,69		1,91	0,47	–0,37
7	6,85	1,7	0,63		1,92	0,53	–0,46
8	7,29	1,7	0,6		1,99	0,53	–0,51
9	8,23	1,5	0,4		2,11	0,41	–0,92
10	8,38	1,5	0,57		2,13	0,41	–0,56
11	8,86	0,9	0,51		2,18	–0,11	–0,67
12	9,66	1,5	0,45		2,27	0,41	–0,80
13	10,17	1,3	0,56		2,32	0,26	–0,58
14	10,65	1,5	0,53		2,37	0,41	–0,63
15	11,05	1,9	0,54		2,40	0,64	–0,62

Результатом розрахунку буде: А¢ = 1,279; a = 0,513; b = –0,842.

Y¢ = 1,279 + 0,513Х₁ –0,842 Х₂

Y = exp (1,279) × Х₁^0,513 × Х₂^–0,842

Згідно з даними функція пропозиції молочних продуктів на ринок має вигляд:

Y = 3,594 × Х₁^0,513 × Х₂^–0,842

Аналіз і висновки.

Виходячи з моделі еластичність пропозиції кількості молочної продукції, запропонованої на ринку виробниками, за ціною дорівнює 0,513. Це означає, що за інших рівних умов (при постійних витратах на податки) підвищення ціни за 1 л молока на 1 % призведе до збільшення кількість молочної продукції, запропонованої на ринку виробниками на 0,513%

Еластичність пропозиції кількість молочної продукції, запропонованої на ринку виробниками, від витрат на податки дорівнює –0,842. Це означає, що за інших рівних умов (особливо при незмінних цінах на молоко) зменшення витрат на податки на 1 % сприятиме підвищенню кількість молочної продукції, запропонованої на ринку виробниками на 0,842 %.

Порівняльний аналіз впливу ціни за 1 л молока та витрат на податки на еластичність пропозиції молочної продукції на ринок показує, що другий чинник впливовіший ніж перший (│–0,842│>│0,513│).

Аналіз сумісного впливу обох чинників на попит свідчить про те, що в умовах одночасного зростання на 1 % ціни за 1 л молока та витрат на податки на 1 % можливе зниження виробниками пропозиції молочної продукції на ринок буде дорівнювати (0,513–0,842) = –0,329 %.