1.2. Случайная величина

Если связать каждое событие из множества событий, с каким – либо числом, то получим совокупность чисел, появление каждого из которых случайно. В результате проведения экспериментов, таким образом, мы получаем случайную величину.

Случайная величина (Х) - функция, принимающая действительные значения на множестве событий. С помощью этой функции мы ставим в однозначное их соответствие каждому событию некоторое число х_i (х_i – некоторая единственная точка на действительной оси). Следовательно, случайная величина – некоторое преобразование, которое каждому событию в пространстве событий ставит в соответствие единственное алгебраическое значение события х_i.

Случайная величина – такая величина, поведение которой не определено, а поскольку поведение не определено, то мы можем только приписать вероятности к возможным значениям таких величин.

Таким образом, случайная величина определяется ее распределением в вероятности (т.е. с какой вероятностью величина принимает те или иные числовые значения).

Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.

1.2.1. Дискретные и непрерывные случайные величины

Дискретные случайные величины – те, которые имеют конечное число возможных результатов. С ними мы сталкиваемся в примере бросания монеты и игральной кости. В случае с игральной костью случайная величина (Z) может принимать значения от 1 до 6. И каждому этому значению соответствует вероятность его выпадения. Вероятности вместе со связанными с ними значениями случайных величин и составляют функцию частот вероятностей.

Значения Z	1	2	3	4	5	6
Вероятность P(Z)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Независимо от количества возможных результатов сумма всех вероятностей должна быть равной 1.

Примерами дискретного распределения являются биноминальное и тригономинальное уравнения.

Подбрасывание монеты ведет к биноминальному распределению.

Вероятность активов могут уменьшаться, увеличиваться или оставаться неизменными, что ведет к тригономинальному распределению, поскольку может быть три вида результатов.

Непрерывная случайная переменная – такая переменная, которая может принимать бесконечное количество значений (температура, влажность воздуха, курс акций и т.д.)

1.3. Вероятностные характеристики случайной величины

Как непрерывная, так и случайная дискретная величина имеет плотность распределения вероятностей, которая часто именуется просто плотностью вероятности и обозначается как f(x) (для случайной непрерывной величины) или p(x) (для дискретной величины). Плотность вероятности ставит в соответствие случайной величине вероятностную меру. Плотности вероятностей должны удовлетворять следующим условиям.

Характеристики плотности	Случайная величина х
	Дискретная	Непрерывная
Область определения
Условия неотрицательности и нормировки

Условие неотрицательности для непрерывных и дискретных распределений означает, что плотность вероятности не может принимать отрицательные значения (в противном случае вероятность некоторых событий могла бы быть отрицательной). Условие нормировки показывает, что сумма вероятностей по всему пространству событий должна быть равна 1.

Самой важной вероятностной характеристикой случайной величины является функция распределения, определяемая следующим образом.

Рассмотрим случай с бросанием игровой кости. Пусть -случайная величина, представляющая количество выпавших очков, тогда плотность вероятности и функция распределения вероятности случайной величины х определяется следующим образом:

p(x) –равномерная дискретная функция т.к. любые значения случайной величины принимаются с одинаковыми вероятностями.

р (х)

1 Функция распределения P(X)

5 /6

4 /6

3/6

2/6

Плотность вероятности p(x)

1/6

1 2 3 4 5 6 х

Пример для непрерывной величины.

Стрелка длиной L закреплена подвижно на оси в центре круга, радиус которого также равен L. На окружности выбирается точка отсчета, стрелка вращается в направлении часовой стрелки, по окружности измеряется расстояние х, пройденное стрелкой от точки отсчета. Такая случайная величина х является непрерывной, принимающей значения из интервала . Нет, ни каких оснований считать, что стрелка будет иметь тенденцию останавливаться в некоторой области окружности чаще, чем в других областях. Поэтому все значения х из интервала могут приниматься с равной вероятностью и распределение х должно быть равномерным.

,

,

1 Функция распределения F(Х)

Плотность вероятности f(x)

x

2ПL