4. Многофакторное регрессионное уравнение (мру)

1. Необходимость использования многофакторных регрессионных уравнений (МРУ).

2. Оценка коэффициентов регрессии и условия применения метода наименьших квадратов (МНК).

3. Показатели адекватности.

4. Отбор существенных факторов.

5. Нелинейные регрессионные модели (НРМ).

6. Использование регрессионных моделей для прогнозирования.

7. Этапы построений регрессионных уравнений

4.1. Необходимость использования многофакторных регрессионных уравнений (мру)

Область применения однофакторной регрессионной модели ограничена, т.к. изменение эконометрических показателей объясняется, как правило, несколькими факторами и в таких случаях более приемлемым является, математический аппарат многофакторных регрессионных уравнений (МРУ). В общем случае многофакторное регрессионное уравнение (МРУ) записывается следующим образом: М(Y)=F(X¹_,X², X³ … X^k)

Линейное МРУ является частным случаем и записывается в следующем виде:

Y(X¹,X²,…,X^K)=b₀+b₁X¹+b₂X²+ … +b_kX^k+ε, где

b₀-свободный член регрессии,

b_1,b₂,…,b_k - коэффициенты регрессии,

ε – случайная компонента,

X¹,X²,…,X^k – независимые переменные,

Y – зависимая переменная,

4.2. Оценка коэффициентов регрессии и условия применения метода наименьших квадратов (мнк) Параметры уравнения множественной регрессии оцениваются методом наименьших квадратов по формуле:

b=(Х^Т*Х)^-1*Х^Т*Y=

,

Коэффициент регрессии многофакторного регрессионного уравнения (МРУ) имеет такой же экономический смысл, что и в однофакторной модели, т.е. коэффициент регрессии b_j в многофакторном регрессионном уравнении (МРУ) показывает прирост результата, приходящийся на единицу прироста j – ого фактора, при фиксированных значениях других факторов.

Коэффициенты регрессии многофакторного регрессионного уравнения (МРУ) оцениваются методом наименьших квадратов (МНК). Для определения параметров множественной регрессии с k факторами, решается система уравнений из k+1 уравнений с k+1 неизвестными.

Метод наименьших квадратов (МНК) дает «хорошие» оценки при соблюдении определенных условий относительно случайной компоненты ε_i и независимых переменных X¹,X²,…,X^k .

При сохранении условий с 1 по 3 для однофакторного уравнения к многофакторной модели добавляется четвертое, требующее независимости факторов между собой, т.е. в многофакторном регрессионном уравнении (МРУ) для получения «хороших» оценок методом наименьших квадратов (МНК) необходимы следующие условия:

1. Математическое ожидание случайной компоненты равно 0: М(ε_i)=0.

2. Дисперсия должна быть постоянной: D(ε_i)=const=σ²

3. Коввариация должна быть равна 0: cov(ε_i,ε_j) = 0

4. Независимость факторов между собой. Нарушение условия 4 – мультиколлениарность.

Имея строгую математическую формулировку и критерий проверки, условие 4 на практике проверяется на основе коэффициентов корреляции между факторами. Если коэффициенты корреляции между факторами по абсолютной величине больше, чем 0,5, то считается, что факторы зависимы между собой и мультиколлениарность – существенна.

Еще одним из признаков мультиколлениарности являются большие стандартные ошибки при коэффициентах регрессии. Мультиколлениарность особенно часто имеет место при анализе данных, таких как доходы, производство, где присутствует инфляция. При наличии мультиколлинеарности коэффициенты регрессии нестабильны как в отношении статистической значимости, так и по величине и знаку. Следовательно, они не надежны.

Значение коэффициента детерминации может быть высоким, но стандартные ошибки при этом, как правило, тоже высоки. Следовательно, значения t-статистики достаточно малы, что не соответствует действительности. Для устранения мультиколлениарности нужно:

1. Увеличение объема выборки, потому что большое количество данных означает малую дисперсию оценок методом наименьших квадратов (МНК). Проблемы реализации этого варианта решения состоит в трудности нахождения дополнительных данных.

2. Исключаем некоторые переменные, которые высококоррелированы с остальными. Проблемы: переменные, возможно, были включены в модель на теоретической основе, и будет неправомочным их исключение только лишь для того, чтобы сделать статистические результаты лучше.

3. Использование методов оценивания коэффициентов регрессии, учитывающих мультиколлениарность.