Использование суперпозиций функций

Если - монотонно возрастающая функция, то уравнения и равносильны.

Пример 9:

Запишем уравнение в виде

Рассмотрим функцию - монотонно возрастающую, тогда уравнение имеет вид . Оно равносильно уравнению

Сделаем замену

не удовлетворяет условию

Ответ:

Использование областей существования функций при решении уравнений.

Если при рассмотрении уравнения выясняется, что обе его части определены на некотором множестве, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования уравнения , достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения.

Если же множество, на котором определены обе части уравнения, окажется пустым множеством, то ответ в таком случае — уравнение не имеет решений.

Решить уравнение

Пример 1.

Обе части уравнения определены при x, удовлетворяющих системе условий:

Решением этой системы являются два числа . Значит, если уравнение имеет решение, то оно находиться среди этих чисел.

Проверка:

,

- верное числовое равенство,

т.е. - корень уравнения

,

- неверное числовое равенство,

т.е. - не является корнем уравнения.

Ответ: 4.

Пример 2. Решить уравнение .

Область определения уравнения выражается системой:

т.е. . Поэтому, если уравнение имеет решение, то оно принадлежит данному множеству.

Но при .

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 3. Решить уравнение:

Область определения уравнения выражается системой:

Решением которой является лишь одно число 2. Проверим, является ли оно корнем исходного уравнения. Подстановкой убеждаемся, что получается верное числовое равенство, т.е. - единственный корень уравнения.

Ответ: 2.

Пример 4. Решим неравенство:

Неравенство определено для тех , которые удовлетворяют системе неравенств:

Решением которой являются лишь 2 числа: и . Поэтому если исходное неравенство имеет решения, они находятся среди этих чисел.

Проверкой убеждаемся, что только удовлетворяет неравенству. Следовательно, неравенство имеет единственное решение 4.

Ответ: 4.

Пример 5. Решить неравенство: .

Областью определения данного неравенства являются те значения , для которых Но учитывая, что для любого , получим, что неравенство определено лишь для тех , для которых , т.е. , .

Проверим, какие из них удовлетворяют неравенству.

а

Т.к. , то исходное неравенство выполняется для всех допустимых значений , т.е. ,

Ответ: ,

Пример 6. Решить неравенство: .

Обе части неравенства определены для тех , для которых выполняются неравенства

Эта система не имеет решений, т.е. область определения неравенства пуста. Следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.