Использование ограниченности функций

П усть множество М есть общая часть (пересечение) областей существования функций f(x) и g(х) и пусть для любого х є М справедливы неравенства f(x)≥А и g(х)≤А, где А – некоторое число. Тогда уравнение f(x) = g(х) равносильно системе уравнений f(x)=А

g(х)=А

Пример1. Решим уравнение

4х² + 4х + 17 = (1)

Обе части уравнения (1) определены для всех х. Перепишем уравнение (1) в виде

(х+ )² + 4 = (2)

Очевидно, что для любого х справедливы неравенства

f(x)= (х+ )² + 4≥4; g(х)= ≤4

Следовательно, уравнение (2) равносильно системе уравнений

( х+ )² + 4 = 4

= 4 (3)

Система (3) не имеет решений. Следовательно, и равносильное ей уравнение (1) не имеет решений.

Ответ: Нет решений.

Использование производной для решения уравнений

При решении уравнения часто бывает полезно доказать возрастание (убывание) на некотором промежутке функций, в него входящих. При этом часто пользуются производными.

Пример1. Решим уравнение

х⁵ + х³ – + 4 =0 (1)

Рассмотрим функцию f(х)= х⁵ + х³ – + 4. Область существования этой функции есть промежуток Х=(-∞; ]. Функция f(х) имеет внутри промежутка Х положительную производную f ´(х)=5х⁴ +3х² + .

Следовательно, функция f(х) возрастает на промежутке Х, и так как она непрерывна на этом промежутке, то каждое свое значение она принимает ровно в одной точке. А это означает, что уравнение (1) имеет не доле одного корня. Легко видеть, что число х₁= - 1 удовлетворяет уравнению (1). Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень х_1.

Ответ: - 1.