5. Основы выборочного наблюдения

Учебные задания

5.1. В порядке механической выборки обследован возраст 100 студентов вуза из общего числа 3000 человек. Результаты обработки материалов наблюдения следующие:

Возраст, лет	17	18	19	20	21	22	23	Итого
Численность студентов, чел.	12	13	18	23	16	9	9	100

Определить:

а) средний возраст студентов вуза по выборке;

б) величину ошибки при определении возраста студентов на основе выборки;

в) вероятные пределы колебания возраста для всех студентов при вероятности 0,997.

5.2. Выборочное 10%-ое распределение рабочих завода по средней выработке характеризуется следующими данными:

Месячная выработка, тыс. грн.	До 10	10 - 12	12 - 14	14 - 16	16 – 18
Количество работников	3	4	7	6	3

Определить:

а) среднюю месячную выработку рабочих завода;

б) среднее квадратическое отклонение и дисперсию выработки;

в) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки и доверительные интервалы, в которых находится средняя выработка всех рабочих завода.

5.3. Из общего количества студентов вуза была проведена 30 %-ая случайная бесповторная выборка с целью определения затрат времени на проезд к месту учебы. Результаты выборки следующие:

Затраты времени на проезд к месту учебы, мин.	До 30	30 -40	40 -50	50 -60	60 -70
Численность студентов	70	80	200	55	45

Определить:

а) средние затраты времени на проезд к месту учебы у студентов данного вуза, гарантируя результат с вероятностью 0,997;

б) долю студентов, у которых затраты времени на проезд к месту учебы составляют 60 мин. и более, гарантируя результат с вероятностью 0,954.

5.4. В результате аудиторской проверки (5%-я случайная бесповторная выборка) отрасли химической промышленности были получены следующие данные:

Предприятия химической промышленности	Количество предприятий, подвергшихся аудиторской проверке	Количество предприятий, объявленных банкротом
По производству кислоты	5	2
По производству удобрений	6	3
Нефтеперерабатывающее производство	10	4
По производству других соединений	4	1
Итого:	25	10

Для каждой группы предприятий определить с вероятностью 0,954 доверительный интервал доли предприятий, объявленных банкротами. Сделайте выводы.

5.5. По данным 5%-го выборочного обследования станки по срокам службы распределяются следующим образом:

Срок службы, лет	до 4	4-8	8-12	12 и более	Итого
Количество станков	50	65	45	40	200

Определите:

а) средний срок службы станков и доверительный интервал для средней с вероятностью 0,954;

б) с той же вероятностью определите предельную ошибку и доверительный интервал части станков, у которых срок службы больше 12 лет.

5.6. В разных районах города, с целью определения уровня радиации, взято 100 проб. Результаты анализа следующие:

Уровень радиации, Р/с	До 12	12-14	14-16	16-18	18 и более	Всего
Число проб	13	9	28	42	8	100

Определите:

а) средний уровень радиации в городе и доверительный интервал для средней с вероятностью 0,954;

б) с той же вероятностью определите доверительный интервал доли радиации, уровень которой меньше 14 Р/с.

5.7. Произведен 10%-ный пропорциональный типический отбор рабочих со сдельной и повременной системами оплаты труда для изучения показателей выполнения сменного задания. Отбор единиц в каждой группе бесповторный. Выборка дала следующее распределение рабочих по проценту выполнения норм выработки:

Группы рабочих по оплате труда	Группы рабочих по проценту выполнения сменного задания				Итого рабочих
	До 100	100 - 120	120 - 140	140 и выше
Рабочие-сдельщики Рабочие-повременщики	20 40	150 100	80 60	30 20	280 220
Итого	60	250	140	50	500

Определить:

а) доверительные интервалы, в которых с вероятностью 0,954 заключен средний процент выполнения сменного задания для всех рабочих предприятия;

б) возможные пределы доли рабочих, выполняющих сменное задание не менее чем на 120% (с вероятностью 0,954);

в) необходимую численность выборки при определении доли рабочих, выполняющих сменное задание не менее чем на 120%, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 3%.

5.8. Качество партии молочных продуктов, состоящей из 5000 пакетов, упакованных в ящики по 20 пакетов, проверялось с помощью 2 %-ной серийной бесповторной выборки. Результаты проверки следующие:

Показатели	Ящики
	1	2	3	4	5
Средний срок хранения, дней	3	2,5	3,5	2	4 0,98
Удельный вес продуктов со сроком хранения не менее 3 дней	0,88	0,76	0,92	0,70

С вероятностью 0,997 определите:

а) пределы среднего срока хранения молочных продуктов во всей партии;

б) пределы доли молочных продуктов со сроком хранения не менее 3 дней.

5.9. Химический анализ 10 партий молока дал такие показатели кислотности (в градусах Тернера): 17, 20, 22, 18, 21, 19, 23, 22, 24, 16.

Определите:

а) средний уровень кислотности молока и предельную ошибку выборки для средней с вероятностью 0,954;

б) долю молока, отвечающего стандарту (не больше 21) и ошиб­ку выборки для доли с вероятностью 0,954;

в) сколько партий молока необходимо проверить, чтобы ошибка выборки для доли нестандартного молока уменьшилась в два раза?

5.10. С целью определения затрат времени на изготовление детали был проведен хронометраж труда 25 работников, отобранных по схеме 10 %-го механического отбора. По данным выборки средние затраты времени составили 15 минут при σ = 2 минуты.

Вычислите ошибку выборки с вероятностью 0,954 для средних затрат времени и определите:

а) как изменится ошибка выборки, если объем выборочной совокупности увеличить в два раза;

б) как отразится на ошибке выборки увеличение дисперсии в 1,8 раза;

в) как изменится ошибка выборки, если долю выборочной совокупности относительно генеральной довести соответственно до 20 %.

5.11. Выборочная проверка 200 партий чайных сервизов, которые числились в I сорте, показала, что 25 из них имеют дефекты и их необходимо перевести во II сорт.

Определите с вероятностью 0,997 среднюю и предельную ошибку выборки и доверительный интервал, в котором заключена генеральная доля чайных сервизов I сорта.

5.12. Впервые организуется моментное наблюдение за эффективностью использования 55 единиц производственного оборудования. Сколько наблюдений необходимо провести, чтобы ошибка выборки для доли неработающего оборудования с вероятностью 0,954 не превысила 2,5 %?

5.13. Сколько фирм необходимо проверить налоговой инспекции района, чтобы ошибка доли фирм, несвоевременно уплачивающих налоги, не превысила 5 %? По данным предыдущей проверки, доля таких фирм составила 32 %. Доверительную вероятность принять равной 0,954.

5.14. Для определения средней продолжительности телефонного разговора и доли разговоров, продолжительность которых превышает 5 мин., предполагается провести выборочное наблюдение методом случайной выборки. По данным аналогичных обследований среднее квадратическое отклонение продолжительности разговора составило 3,5 мин., а доля телефонных разговоров, продолжительность которых превышает 5 мин., составила 0,4.

Сколько телефонных разговоров необходимо обследовать для того, чтобы с вероятностью 0,954 (0,997) найти среднюю продолжительность телефонного разговора с ошибкой, не превышающей 30 с, а также долю телефонных разговоров, продолжительность которых превышает 5 мин., с ошибкой, не превышающей 5 %?

5.15. На автотранспортном предприятии известны следующие результаты выборочного обследования пробега автомобильных шин одного типоразмера в городских условиях при работе водителей различной квалификации:

Пробег автомобильных шин, тыс. км	Число шин
	при работе водителей І класса	при работе водителей ІІ класса
50 – 52 52 – 54 54 – 56 56 – 58 58 – 60	2 6 18 10 4	10 26 10 8 6
Итого	40	60

На основе приведенных данных определить, существенно ли расхождение среднего пробега автомобильных шин для двух групп водителей, гарантируя результат с вероятностью 0,954.

5.16. Для выяснения причин простоев была проведена фотография рабочего дня 10% рабочих четырех различных цехов. Отбор производился методом типического бесповторного отбора. Была выявлена следующая доля простоев из-за несвоевременного поступления сырья:

Показатели	Цех
	1	2	3	4
Число рабочих в выборке Удельный вес простоев из-за несвоевременного поступления сырья, %	20 8	30 15	26 20	24 5

Определить с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится доля простоев на заводе из-за несвоевременного поступления сырья.

5.17. Методом собственно случайной бесповторной выборки было обследовано 150 студентов дневного отделения одного из высших учебных заведений. Доля студентов, совмещающих работу и учебу, составила, по данным выборки, 30 %.

Определить вероятность того, что ошибка доли студентов дневного отделения этого учебного заведения, работающих в течение учебного года, не превысит 5 %; 10 %.

5.18. Определить, сколько необходимо отобрать киосков для того, чтобы рассчитать выборочную среднегодовую численность покупателей. Предельная ошибка выборки с вероятностью 0,997 не должна превышать ± 25 человек при среднем квадратическом отклонении, равном 75 покупателям.

5.19. При планировании выборочного обследования занятости мужского населения сельских районов региона имеются следующие данные:

Район	Численность мужчин в трудоспособном возрасте, тыс. чел.	Удельный вес занятых мужчин, %
1	3,5	75
2	5,6	80
3	1,7	70
4	2,8	85

С вероятностью 0,954 определите необходимый объем типической пропорциональной выборки для установления границ генеральной доли: а) при повторном отборе; б) при бесповторном отборе в районах, чтобы ошибка выборки не превышала 5 %.

5.20. По данным выборочного обследования 10 000 пассажиров пригородного сообщения средняя дальность поездки пассажира составила 35,5 км, а среднее квадратическое отклонение -16,0 км.

Определить: 1) пределы средней дальности поездки пасса­жиров с вероятностью 0,954; 2) как изменится предельная ошиб­ка выборки, если вероятность будет принята равной 0,997?

Решение типовых задач

Задача 1. На предприятии в порядке случайной выборки было опрошено 100 рабочих из 1000 и получены следующие данные об их доходе за октябрь:

Месячный доход, грн.	120-200	200-280	280-360	360-440
Число рабочих	12	60	20	8

Определить: 1) среднемесячный размер дохода у работников данного предприятия, гарантируя результат с вероятностью 0,997; 2) долю рабочих предприятия, имеющих месячный доход 280 грн. и выше, гарантируя результат с вероятностью 0,954; 3) необходимую численность выборки при определении среднего месячного дохода работников предприятия, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 10 грн.; 4) необходимую численность выборки при определении доли рабочих с размером месячного дохода 280 грн. и выше, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка не превышала 4%.

Решение

1). Доверительный интервал среднего размера месячного дохода работников предприятия: – + .

Средний месячный доход по выборке составит:

; грн.

Предельная ошибка выборки:

При вероятности .

Определим дисперсию дохода:

грн.

;

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что месячный доход работников предприятия больше 241,82 грн. и меньше 276,58 грн.

2). w – доля рабочих, имеющих размер месячного дохода 280 и выше:

w .

Предельная ошибка доли

При вероятности .

Доверительные интервалы для генеральной доли:

Доля рабочих предприятия, имеющих доход 280 грн. и выше, находится в пределах от 19,5 % до 36,5 %.

3. Необходимая численность выборки для определения среднего месячного дохода определяется по формуле

.

По условию задачи известны:

при вероятности ;

грн.; (по данным предыдущей выборки).

чел.

4. Необходимая численность выборки для определения доли рабочих, имеющих доход 280 грн. и выше, определяется по формуле

По условию задачи известны:

или 0,02; при вероятности Р = 0,954 t = 2; w = 0,28 (по данным предыдущей выборки).

чел.

Задача 2. Для определения урожайности зерновых культур проведено выборочное обследование 100 хозяйств региона различных форм собственности, в результате которого получены сводные данные. Необходимо с вероятностью 0,954 определить предельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы средней урожайности зерновых культур по всем хозяйствам региона.

Распределение урожайности по хозяйствам региона, имеющим различную форму собственности

Хозяйства (по формам собственности)	Количество обследованных хозяйств	Средняя урожайность, ц/га	Дисперсия урожайности в каждой группе
Коллективные	30	18	15
Акционерные общества	50	20	25
Крестьянские (фермерские)	20	28	40
Итого	100	-	-

Решение

Поскольку обследованные хозяйства региона сгруппированы по формам собственности, предельную ошибку средней урожайности определяем по формуле для типической выборки, осуществляемой методом повторного отбора (численность генеральной совокупности N неизвестна):

В этой формуле неизвестна средняя из внутригрупповых дисперсий.

Она исчисляется по формуле:

Для заданной в условии вероятности . Тогда предельная ошибка выборки составит, ц/га:

Генеральная средняя: Для нахождения ее границ вначале нужно исчислить среднюю урожайность по выборочной совокупности:

ц/га.

Предельная относительная ошибка выборки, %:

Доверительные пределы генеральной средней исчисляем, исходя из двойного неравенства:

– + ;

;

.

Задача 3. По городской телефонной сети в порядке случайной выборки (механический отбор) произвели 100 наблюдений и установили среднюю продолжительность одного телефонного разговора 5 мин. при среднем квадратическом отклонении 2 мин.

Какова вероятность того, что ошибка репрезентативности при определении средней продолжительности телефонного разговора не превысит 18 сек.?

Решение

По условию задачи известны:

объем выборки – n =100

выборочная средняя - =5 мин.;

выборочное среднее квадратическое отклонение – = 2 мин.;

предельная ошибка выборки - = 18 сек. =0,3 мин.

= t · µ ; µ = = =0,2 мин.;

t = = =1,5.

Затем по таблице на основе значения t определяется вероятность того, что ошибка не превысит заданной величины.

При t = 1,5 вероятность P = 0,866.

Задача 4. На основе выборочного обследования в отделении связи города предполагается определить долю писем частных лиц в общем объеме отправляемой корреспонденции. Никаких предварительных данных об удельном весе этих писем в общей массе отправляемой корреспонденции не имеется.

Требуется определить численность выборки, если результаты выборки даны с точностью до 1% и гарантируют это с вероятностью 0,95.

Решение

По условию задачи известны:

размер допустимой (предельной) ошибки - = 1% или 0,01;

принятая вероятность – P = 0,95;

при P = 0,95 t = 1,96 (см. приложение 3)

Необходимая численность выборки:

n =

Так как значение w не дано, то следует ориентироваться на наибольшую дисперсию, которой соответствует значение w = 0,5.

n = =9604

Таким образом, чтобы с заданной точностью определить долю частных писем в общем объеме отправляемой корреспонденции, необходимо в порядке случайной выборки отобрать 9604 письма.