8. Статистическое изучение взаимосвязей

Учебные задания

1. Имеются следующие данные по десяти однородным предприятиям:

Предприятия	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Электровоору-женность труда на 1 рабочего, кВт/ч.	2	6	4	7	2	5	4	8	8	3
Выпуск готовой продукции на 1 тыс. ден. ед.	3	8	5	6	4	6	6	8	9	4

Установите форму и тесноту связи между электровооруженностью и выпуском продукции на 1 работающего. Как изменится выпуск продукции на 1 работающего при увеличении электровооруженности на 1 кВт/ч?

2. Имеются данные по 24 торговым предприятиям, тыс. грн.:

№	Товарооборот	Прибыль	№	Товарооборот	Прибыль
1	1200	190	13	1710	360
2	1000	150	14	1770	370
3	1100	170	15	1380	290
4	1500	340	16	2030	560
5	1370	280	17	1010	180
6	2420	680	18	2780	820
7	1340	310	19	3120	940
8	2080	580	20	1720	360
9	2160	640	21	1950	550
10	900	145	22	710	110
11	1510	320	23	1740	365
12	1120	216	24	1240	230

Для изучения зависимости между объемом товарооборота и суммой прибыли:

1. Произведите группировку предприятий по товарообороту, выде­лив четыре группы с равными интервалами;

2. По каждой группе и в целом подсчитайте:

а) количество торговых предприятий;

б) сумму товарооборота – в целом и в среднем на одно торговое предприятие;

в) сумму прибыли – в целом и в среднем на одно предприятие.

3. Используя результаты произведенной группировки, выполните дисперсионный анализ связи между объемом товарооборота и нормой прибыли.

4. Постройте линейную регрессионную модель и проинтерпретируйте ее параметры.

3. Имеются данные по 16 предприятиям:

Номер предпри-ятия	Стоимость авансированного капитала	Валовая продук-ция	Номер предпри-ятия	Стоимость авансрованного капитала	Валовая продук-ция
1	12,6	14,6	9	19,4	20,2
2	14,5	17	10	18,2	22,2
3	9,8	10,4	11	6,8	7,2
4	14,9	18,2	12	12,8	14,6
5	18,6	22	13	5,4	5,8
6	14,3	17,2	14	15	18,6
7	8,2	7,9	15	12,9	14,5
8	14	17,4	16	16	19,8

1. С целью изучения зависимости между стоимостью авансированного капитала и выпуском валовой продукции произведите группировку заводов по стоимости авансированного капитала, образовав три группы с равными интервалами. Каждую группировку охарактеризуйте стоимостью авансированного капитала и стоимостью валовой продукции. Результаты группировки оформите в таблицу.

2. Оцените тесноту связи между признаками, используя метод дисперсионного анализа.

3. С целью изучения зависимости выпуска валовой продукции от стоимости авансированного капитала определите параметры линейного уравнения регрессии и линейный коэффициент корреляции. Сделайте выводы.

8.4. По имеющимся данным установить тесноту связи между урожайностью картофеля и количеством внесенных минеральных удобрений на единицу площади при помощи коэффициентов Фехнера и Спирмена.

№ наблюдения	Внесено минеральных удобрения, ц действующего вещества на 1 га посевов	Урожайность, ц/га
1	2,3	270
2	2,5	290
3	3,0	320
4	3.1	325
5	2,7	305
6	2,9	310
7	1,5	190
8	1,9	210
9	1,7	210
10	2,4	275

8.5. По имеющимся данным необходимо:

1) оценить тесноту связи при помощи коэффициента корреляции;

2) проверить сущность корреляционной связи при помощи і -тесту

Стьюдента (для уровня значимости а =0,05);

3) построить однофакторную линейную регрессионную модель;

4) проверить модель на адекватность;

5) для уровня значимости а = 0,05 провести оценку значимости коэффициентов уравнения регрессии.

6) определить интервалы доверия для коэффициентов уравнения регрессии;

7) определить коэффициент эластичности.

№ п/п	Объем выпущенной продукции, тыс. грн. у	Стоимость производственных фондов, тыс. грн. х	№ п/п	Объем выпущенной продукции, тыс. грн. у	Стоимость производственных фондов, тыс. грн х
1	11,5	3,6	10	14,4	6,9
2	15,4	8,0	11	11,7	3,8
3	18,0	9,6	12	17,6	9,2
4	15,0	7,0	13	12,1	4,9
5	10,0	2,9	14	13,9	5,4
6	15,1	7,4	15	19,2	10,3
7	16,0	8,3	16	19,8	10,5
8	15,5	7,9	17	14,5	7,6
9	14,0	5,5	18	15,4	6,9

Решение типовых задач

Задача 1. За отчётный год известны следующие данные по предприятиям одной из отраслей промышленности:

№ предприятия	Средняя списочная численность рабочих, чел.	Выпуск продукции, тыс. грн.	№ предприятия	Средняя списочная численность рабочих, чел.	Выпуск продукции, тыс. грн.
1	280	1,4	14	610	6,3
2	480	4,8	15	910	9,8
3	420	3,7	16	740	7,3
4	503	6,1	17	390	1,8
5	710	9,4	18	430	2,6
6	1020	9,6	19	510	4,8
7	490	2,1	20	1250	16,1
8	560	2,6	21	340	1,3
9	620	4,5	22	390	2,3
10	990	8,4	23	250	1,3
11	930	9,7	24	960	2,9
12	430	2,3	25	490	3,4
13	560	3,4

На основе представленных данных:

1) применяя метод аналитической группировки, установить характер зависимости между численностью рабочих и выпуском продукции. При группировке по факторному признаку образовать 4 группы заводов с равными интервалами. Результаты представить в табличной форме;

2) определить на основе дисперсионного анализа тесноту связи между изменениями численности рабочих и выпуском продукции.

Решение

1) Для выполнения аналитической группировки определим интервал группировки по факторному признаку (по среднесписочной численности рабочих):

,

где х_max и х_min - соответственно максимальная и минимальная среднесписочная численность рабочих, чел.;

k - количество групп.

По условию определено образовать 4 группы с равными интервалами, тогда

.

На основании выполненных вспомогательных расчётов строится групповая таблица (табл.1)

Таблица 1

Выявление зависимости между среднесписочной численностью рабочих и выпуском продукции

Группы по среднесписочной численности рабочих, чел.	Число предприятий	Выпуск продукции, тыс. грн.
		Всего	В среднем на одно предприятие
250 – 500	11	27,0	2,45
500 – 750	8	44,4	5,55
750 – 1000	4	30,8	7,70
1000 – 1250	2	25,7	12,85
Итого	25	127,9	5,12

По результатам группировки можно сделать вывод: с увеличением среднесписочного числа рабочих выпуск продукции в среднем на одно предприятие возрастает.

2) Тесноту связи между изменением среднесписочного числа рабочих и выпуском продукции определим, рассчитав эмпирическое корреляционное отношение () по формуле:

,

где δ² - межгрупповая дисперсия;

σ² - общая дисперсия.

Межгрупповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений групповых средних ӯ_i от общей средней ӯ:

.

Используя данные табл.1, находим:

Общую дисперсию определим по индивидуальным данным, используя формулу:

Корреляционное отношение равно:

Таким образом, можно сказать, что связь между численностью рабочих и выпуском продукции высокая. Вариация выпуска продукции на 69,7% (коэффициент детерминации ²) обусловлена вариацией численности рабочих.

Задача 2. Имеются следующие данные по десяти однородным предприятиям:

№ предприятия	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Электровооружённость труда на 1 работающего, кВт.-ч.	2	5	3	7	2	6	4	9	8	4
Выпуск готовой продукции на 1 работающего, млн. грн.	3	6	4	6	4	8	6	9	9	5

Установите форму и тесноту связи между электровооружённостью и выпуском продукции на 1 работающего; как изменится выпуск продукции при увеличении электровооружённости на 1 работающего, кВт.-ч.

Решение

1) Для выявления формы связи между электровооружённостью труда и продукцией на одного работающего строим корреляционное поле:

х – электровооруженность;

у – выпуск продукции на 1 работающего.

Рис.1. Корреляционное поле для выявления зависимости между электровооружённостью и выпуском продукции на 1 работающего

Делаем вывод, что зависимость между электровооружённостью труда и продукцией на одного работающего – линейная и выражается уравнением прямой:

2) Для определения параметров уравнения регрессии построим расчётную таблицу.

Расчёт параметров уравнения регрессии

№ завода	Электрово-оружённость труда одного работающего, кВт-ч.	Выпуск продукции на одного работающего, тыс. грн. (у)	ху	х2	ух	у2
1	2	3	6	4	3,61	9
2	5	6	30	25	6,0	36
3	3	4	12	9	4,41	16
4	7	6	42	49	7,59	36
5	2	4	8	4	3,61	16
6	6	8	48	36	6,80	64
7	4	6	24	16	5,20	36
8	9	9	81	81	9,19	81
9	8	9	72	64	8,38	81
10	4	5	20	16	5,20	25
Итого	50	60	343	304	60,0	400

Определим параметры уравнения регрессии по формулам:

.

Теперь рассчитаем теоретическую линию регрессии у_х путём подстановки значений х в уравнение корреляционной связи:

Нанесём на рис.1 точки х и у_х (другим цветом) и проведём прямую линию.

3) Для оценки тесноты связи между изучаемыми показателями определим линейный коэффициент корреляции:

Полученный результат свидетельствует о том, что связь между рассматриваемыми показателями очень тесная.

Определим коэффициент детерминации:

или 85,9%. Это значит, что выпуск продукции на 1 работающего на 85,9% зависит от электровооружённости труда. Определим надёжность связи:

Значит, связь надёжна.

4) Как изменится выпуск продукции при увеличении электровооружённости 1 работающего на 1 кВт.-ч.?

Ответ на этот вопрос даёт значение коэффициента регрессии . В нашем примере . Значит при увеличении электровооружённости труда 1 работающего на 1 кВт.-ч. выпуск продукции увеличится на 0,796 тыс. грн.

Изменение выработки при увеличении электровооружённости на 1% позволяет определить коэффициент эластичности:

.

Таким образом, с увеличением электровооруженности на 1% выработка увеличивается на 0,66%.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бек В.Л. Теорія статистики: Курс лекцій. Навчальний посібник -Київ: ЦУЛ, 2003. – 288 с.

2. Єрiна А.М., Пальян З.О. Теорiя статистики: Практикум. – К.: Тов-во "Знання", КОО,1997. – 325 с.

3. Ефимова М.Р., Ганченко О.И., Петрова Е.В. Практикум по общей теории статистики: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 280 с.

4. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.И. Общая теория статистики: Учебник. – М.: ИНФРА-М., 1997. – 416 с.

5. Кулинич О.І. Теорія статистики. Задачник. 2-е доп. і доопр. видання – К-д: Державне Центрально-Українське видавництво, 1997. – 162 с.

6. Лугінін О.Є., Білоусова С.В. Статистика: Підручник. К., Центр навчальної літератури, 2005. – 580 с.

7. Мармоза А.Т. Практикум з теорії статистики. – К.: Ельга, Ніка-Центр, 2003. – 344 с.

8. Мармоза А.Т. Теорія статистики: Навч. Посібник. - К.: Ельга, Ніка-Центр, 2003. – 392 с.

9. Масич Л.О. Навчальний посібник з основ теорії статистики (зрозуміло про складну статистику). – Донецьк, ДонНУ, 2003. – 190 с.

10. Статистика: Навч.-метод. посібник для самост. вивч. дисц. /А.М.Єріна, Р.М.Моторін, А.В.Головач та інш.; За заг. ред. А.М.Єріної, Р.М.Моторіна. - К.:КНЕУ, 2001. – 448 с.

11. Теорія статистики: Навчальний посібник / Вашків П.Г., Пастер П.І., Сторожук В.П., Ткач Є.І.– К.: Либідь, 2001. – 320 с.

12. Теория статистики: Учебник /Под ред. проф. Р.А. Шмойловой. – 3-е изд., перераб. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 560 с.

Учебное издание

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

И ЗАДАЧИ ПО КУРСУ

“Общая теория статистики”

(для студентов 2-го курса всех специальностей)

Составители: Юрий Люциянович Петрушевский,

Татьяна Николаевна Мехедова

Технический редактор В.И. Зензеров



Подписано к печати 01.09.2008. Формат 60х84 ¹/₁₆. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Усл.-печ. л. 6,1. Тираж 200 экз. Заказ № 901.



Донецкий государственный университет управления