Решение

Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящих моментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построения эпюры продольных сил.

1. Намечаем характерные сечения.

2. Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.

3. По найденным значениям строим эпюру (рис.10.4, б).

7.2. Определение напряжений и деформаций при кручении

Выведем формулу для определения касательных напряжений τ и найдем зависимость между углом закручивания  и внутренним крутящим моментом Мz. Данная задача применительно к валам круглого сечения может быть решена с помощью элементарного математического аппарата, если ввести соответствующие гипотезы, которые достаточно хорошо подтверждаются экспериментами.

Гипотезы, принимаемые при расчете на кручение:

Рис.7.5

1) сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации (гипотеза Бернулли, гипотеза плоских сечений);

2) все радиусы данного сечения остаются прямыми (не искривляются) и поворачиваются на один и тот же угол , то есть каждое сечение поворачивается относительно оси z как жесткий тонкий диск;

3) расстояния между сечениями при деформации не изменяются.

Статическая сторона задачи

Чтобы определить напряжения в поперечных сечениях стержня, рассмотрим, прежде всего, статическую сторону задачи.

Поскольку крутящий момент Мz – единственный внутренний силовой фактор в поперечном сечении, действующий при этом в плоскости данного сечения, можно предположить, что при кручении в поперечных сечениях вала возникают только касательные напряжения.

В сечении вала выделим элементарную площадку dA на расстоянии ρ от продольной оси (ось z) стержня. При кручении на площадке dA, будут действовать касательные напряжения τ, которые создадут элементарный крутящий момент dMz относительно оси z:

dM z = τ dA ρ.

Тогда полный момент, возникающий во всем сечении, найдем как

Рис.7.5

Mz = ∫ ρ⋅dA, (7.3)

где  – касательное напряжение, действующее на элементарной площадке dA, расположенной на произвольном расстоянии (радиусе) ρ от центра сечения.

Перпендикулярность вектора касательных напряжений радиусу объясняется отсутствием на поверхности вала касательных напряжений, параллельных его оси, и, соответственно (по закону парности касательных напряжений), отсутствием касательных напряжений вдоль радиуса.

Как видим, задача является внутренне статически неопределимой так как неизвестен характер распределения касательных напряжений по сечению (ρ) =?. В соответствии с общим планом решения статически неопределимых задач, рассмотрим геометрическую картину деформаций

Геометрическая сторона задачи

Рассмотрим деформацию элемента стержня (вала) длиной dz, выделенного из закручиваемого стержня в произвольной точке с координатой z.

Условно примем, что левое сечение элемента dz остается неподвижным, а правое поворачивается на угол d, создаваемый за счет закручивания вала на длине dz. Один из радиусов OB, оставаясь прямым, поворачивается вместе с сечением на угол d, при этом точка B переходит в положение B1, а образующая CB – в положение CB1, поворачиваясь на угол  – угол сдвига в этой точке вала.

Рис. 7.5

Длину дуги BB1 найдем из рассмотрения треугольников OBB1 и CBB1:

∪BB1 =ρ⋅d =  dz ⇒

. (7.4)