34. Координаттарымен берілген векторларға амалдар қолдану. Координаттарымен берілген векторларға амалдар қолдану

, болса,

35. Кесіндіні берілген қатынаста бөлу формулалары. Кесіндіні берілген қатынаста бөлу. және нүктелері арқылы өтетін кесінді берілсін. Осы кесіндіні қатынасындай етіп бөлетін нүктесінің координаттары: , , - кесіндіні берілген қатынаста бөлу формулаларымен анықталады. Егер болса, яғни онда

, , - кесіндінің ортасын табу формуласы.

36. Кесіндінің ортасын табу формуласы.

37. Векторлардың скалярлық көбейтіндісі. Анықтама. Екі және векторларының скалярлық көбейтіндісі деп санын айтады. Скаляр көбейтінді , , символдармен белгіленеді. Мұндағы ( ), болғандықтан деп жазуға болады.

4-мысал. Егер , , , онда

Теорема. базисінде векторының координаталары , ал векторының координаталары болсын. Онда .

5-мысал. Егер , болса, онда

Скалярлық көбейтіндінің қолданылуы

1. немесе

2.

3. ( ) немесе

38. Векторлардың векторлық көбейтіндісі. Анықтама. және векторларының векторлық көбейтіндісі деп, келесі үш шартты қанағаттандыратын векторын айтады:

1) ;

2) векторының ұзындығы және векторларына тұрғызылған параллелограммның ауданына тең, яғни , мұндағы ;

3) векторлары оң үштік құрайды.

Векторлық көбейтінді немесе деп белгіленеді.

Векторлық көбейтіндінің анықтамасынан , , болады

Векторлық көбейтіндінің қолданылуы

1. ,

2. Егер || болса, онда (және керісінше)

39. Векторлардың аралас көбейтіндісі. Анықтама.   векторларының аралас көбейтіндісі деп, және векторларының векторлық көбейтіндісі мен векторының скаляр көбейтіндісін айтады.

Аралас көбейтінді не немесе түрінде жазылады. Аралас көбейтіндінің нәтижесі санға тең.

Аралас көбейтіндінің қасиеттері:

1. ;

2. ;

3. ;

4. Егер векторлар   компланар болса, онда .

Теорема. базисінде , , векторлары берілсін, онда олардың аралас көбейтіндіні анықтауыш түрінде жазуға болады.

Аралас көбейтіндінің қолданылуы

1. Егер болса, онда   -оң үштік; егер болса, онда   - сол үштік құрайды.

2.   векторлары компланар.

3. , .

40. Жазықтықтағы түзулердің әртүрлі теңдеулері. Жазықтықтағы түзудің теңдеулері

1. Берілген нүктеден берілген векторға перпендикуляр өтетін түзудің теңдеуі

Түзудің бойында жатқан нүктесі және оған перпендикуляр векторы берілген. Түзудің бойынан кез келген нүктесін аламыз. Сонда болады. векторы түзудің бойында жатқандықтан болады. Сондықтан олардың скалярлық көбейтіндісі , яғни

(4.1)

Бұдан векторы түзуге перпендикуляр екендігі шығады. Түзуге перпендикуляр кез келген вектор түзудің нормалы немесе нормалдық векторы деп аталады.