4. Жазықтықтың кесінділік теңдеуі
45.
Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш.
5. Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш.
Жазықтықтар
және
теңдеулерімен берілсе, онда
,
болғандықтан жазықтықтардың арасындағы
бұрыш осы екі нормальдің арасындағы
бұрышқа тең:
(5.5)
Осыдан
егер жазықтықтар параллель болса, онда
,
ал перпендикуляр болса, онда
болады.
46. Екі жазықтықтың параллельдік және перпендикулярлық шарттары.
47. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық.
48.
Кеңістіктегі түзудің әртүрлі теңдеулері.
1. Екі нүкте арқылы өтетін түзудің
теңдеуі. Түзу
және
нүктелерінен өтсе, онда оның теңдеуІ:
2. Түзудің канондық теңдеуі
нүктесі
түзудің бойында жатсын және ол түзу
векторына параллель болсын.Түзудің
бойынан кез келген
нүктесін аламыз. Сонда,
.
векторы түзудің бойында жатқандықтан
||
болады.
Сондықтан түзудің канондық теңдеуі:
(5.8)
Мұндағы - бағыттаушы вектор деп аталады.
3.
Түзудің параметрлік теңдеуі. (5.7)
теңдеуіндегі әр теңдікті
ға
теңеп, мына теңдеуді аламыз:
(5.9)
4. Түзудің жалпы теңдеуі. Өзара параллель емес екі жазықтық жалпы теңдеулерімен берілсін:
, (5.10)
Сонда бұл жазықтықтар бір түзудің бойымен қиылысады. Ендеше осы екі жазықтықтың қиылысқан түзуінің бойындағы кез келген нүктенің координаттары екі жазықтықтың да теңдеуін қанағаттандырады. Сондықтан осы екі теңдеулер жүйесін түзудің жалпы теңдеуі дейді.
5. Екі түзудің арасындағы бұрыш. Екі түзу канондық теңдеулерімен берілсін:
және Екі түзудің арасындағы бұрыш, сол түзулердің бағыттаушы векторларының арасындағы бұрышқа тең ( , ):
(5.10)
Егер түзулер өзара параллель болса, онда || болады. Түзулердің параллелдік шарты:
, егер түзулер өзара перпендикуляр болса, онда болады. Түзулердің перпендикулярлық шарты: болады.
49. Түзу мен жазықтықтың өзара орналасуы. Түзу мен жазықтық. Жалпы теңдеуімен берілген жазықтық пен канондық теңдеуімен түзудің арасындағы бұрышты табу керек.
50. Эллипстің канондық теңдеуі. Анықтама. Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден қашықтықтарының қосындысы тұрақты шама болатын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орындарын эллипс деп атайды.
Анықтама
бойынша
,
мұндағы
және
-
фокустар деп аталатын берілген нүктелер,
-эллипстің
бойындағы кез келген нүкте,
-тұрақты шама.
Егер
десек,
онда
,
.
Енді осы мәндерді
теңдеуіне қойып, түрлендіріп, эллипстің
канондық теңдеуін аламыз:
(6.3)
мұндағы
эллипстің
үлкен жарты өсі,
оның
кіші жарты өсі болады.
ны
табу үшін
эллипстің бойынан
нүктесін аламыз.
болғандықтан
немесе
болады. Пифагор теоремасы бойынша
.
Осыдан
деп
белгілейміз.
қатынасын эллипстің эксцентриситеті
деп атайды.
болғандықтан
.
эллипстің директрисаларының теңдеуі.
Ол эллипстің сыртында жатады.
51.
Гиперболаның канондық теңдеуі.
Анықтама. Фокустар
деп аталатын берілген екі нүктеден
қашықтықтарының айырмасының абсолюттік
шамасы тұрақты 2а-ға
тең болатын жазықтықтағы нүктелердің
геометриялық орындарын гипербола
деп
атайды. Гиперболаның канондық теңдеуі
былай жазылады:
Мұндағы
,
-
гиперболаның нақты жарты өсі,
жорымал
жарты өсі,
гиперболаның эксцентриситеті,
болғандықтан
.
Егер
гиперболаның
нүктесі шексіздікке ұмтылғанда
нүктесінен
түзуге дейінгі қашықтық нөлге ұмтылса,
онда мұндай түзуді гиперболаның
асиптотасы дейді. Гиперболаның
асимптоталарының теңдеулері:
және 
,
мұндағы
және
гиперболаның
жарты өстері.
гиперболаның директрисаларының
теңдеуі. Гиперболаның директрисалары
оның төбелерінің арасында жатады
52.
Параболаның канондық теңдеуі.
Анықтама. Фокус
деп аталатын берілген нүктеден және
директриса деп аталатын берілген
түзуден ара қашықтықтары бірдей болатын
жазықтықтағы нүктелердің геометриялық
орындарын парабола
дейді.
мұндағы
берілген
фокус пен директрисаның арасындағы
қашықтық. Параболаның директрисасының
теңдеуі:
.
параболасы
өсіне
симметриялы орналасады.