3.2 Реализация полного факторного эксперимента

Реализация полного факторного эксперимента включает:

сбор статистических данных согласно плана эксперимента;

проверка воспроизводимости эксперимента;

расчёт коэффициентов регрессионной модели и оценка их значимости;

проверка адекватности полученной модели.

При эксперименте на объекте всегда имеются различ­ного рода систематически действующие, мешающие, трудно учитываемые факторы. Отделить эти факторы от изучаемо­го явления, как правило, трудно, да и делать это не нужно.

Однако перед реализацией плана варианты варьирова­ния факторов необходимо рандомизировать (выбрать с равной возможностью в случайном порядке).

Выполняется это с помощью датчиков равномерно рас­пределенных случайных чисел, например, с использованием таблицы случайных чисел, урны с пронумерованными шарами или программы для ЭВМ.

Рандомизированный план эксперимента позволяет сис­тематически действующие факторы сделать случайными.

Тогда их можно рассматривать как случайные величины и учесть в значении погрешности эксперимента их влияние статистически.

Для большей общности изложения приведём расширенную таблицу с планом эксперимента в случае, когда число значений каждой из характеристик y_ij (и проводимых для их определения серий опытов) n=4 и количество параллельных опытов m=5 (табл. 2).

Таблица 2

Номер серии опытов (n=4)	Номера параллельных опытов (m=5)					Матрица планирования				Результаты параллельных наблюдений – значения
										характеристик yij
						x0	план		x1x2
							x1	x2
	1	2	3	4	5					yi 1	yi 2	yi 3	yi 4	yi 5
1	8	20	17	13	7	+1	–1	–1	+1	5,3	4,8	5,1	5,3	5,0	5,10
2	3	19	4	16	10	+1	+1	–1	–1	7,0	7,6	7,2	7,5	7,0	7,26
3	12	1	6	5	14	+1	–1	+1	–1	6,3	6,8	6,9	7,1	6,6	6,74
4	18	9	2	11	15	+1	+1	+1	+1	10,4	11,4	10,7	10,7	11,4	10,92

В таком случае всего при проведении эксперимента необходимо провести nm опытов.

Допустим, что после рандомизации чисел от 1 до 20, характеризующих порядковые номера проводимых опытов, получена последовательность 8; 3; 12; 18; 20; 19; 1; 9; 17; 4; 6; 2; 13; 16; 5; 11; 7; 10; 14; 15. Эта последовательность заносится в таблицу, и с её помощью определяются условия проведения серий опытов, например, серию опытов 8, 20, 17, 13 ,7 необходимо проводить при значениях x₁= –1, x₂= –1.

Результаты наблюдений (значений каждой характери­стики y_ij, получаемой при проведении серий опытов) записываются на свои места в табл. 2.

После проведения всех nm опытов, производят статистическую обработку:

1) полученные в i-м опыте результаты параллельных наблюдений y_i1, y_i2, ...,y_{i m} осредняют

;

осреднённые значения для контрольного примера приведены в табл. 2, в частности,

2) вычисляют оценки дисперсий

;

вычисленные оценки дисперсий для контрольного примера:

0,078; 0,093; 0,207.

Строго говоря, для каждой комбинации факторов достаточно двух наблюдений (количества параллельных опытов m=2).

Проведение большего количества параллельных опытов, обычно вызванное желанием исследователя обеспечить адекватность модели реакции системы, осуществляется в целях проверки воспроизводимости эксперимента. Проверка позволяет установить (опровергнуть) гипотезу о существенной

однородности выборочных дисперсий .

Задача проверки сводится к определению степени близости к истине гипотезы о равенстве гене­ральных дисперсий откликов ( = =… = ) в n сериях опытов (с номерами 1,2,...,n).

Так как все оценки дисперсий получены по выборкам одинакового объема m, то число степеней свободы для всех них одинаково и составляет v1_вос=m–1, а число степеней сво­боды за счёт комбинирования значений x₁ и x₂ равно v2 _вос=n.

В этом случае для проверки гипотез об однородности оценок

дисперсий следует воспользоваться критерием, основанным

на законе распределения отношения макси­мальной оценки дисперсии к сумме всех сравниваемых оценок дисперсий (критерий Кочрена), т. е. на статистике

.

Для рассматриваемого примера

.

(однородность дисперсий можно проверить и при помощи критерия Фишера, предусматривающего попарное сравнение).

Задавшись уровнем значимости – доверительной вероятностью _вос подтверждения гипотезы об однородности оценок дисперсий (часто принимают  _вос=0,95, а иногда используют другие значения) – по справочной статистической таблице (подобной в справочно-информаци­онном смысле общеизвестной таблице логарифмов) для v1_вос=m–1, v2 _вос=n и значения  _вос определяют критическое значение G_кр(v1_вос, v2_вос, _вос) и сравнивают его с G, вычисленным по данным эксперимента.

Если при проверке воспроизводимости эксперимента G < G_кр, то дисперсии однородны и их можно считать оценками одной и той же генеральной дисперсии, после чего можно

усреднить ,

полагая, что найденная оценка имеет число степеней свободы v_зн=n(m–1). Для примера

Если G > G_кр, то гипотеза об однородности выборочных дисперсий отвергается. В этом случае можно увеличить число параллельных опытов (особенно там, где большие значения s_2i) и повторить проверку гипотез. Но иногда это сделать невозможно по каким-либо причинам, поэтому применяют более сложные методики оценивания коэффициентов уравнения регрессии на основе имеющихся результатов наблюдений.

Для рассматриваемого примера

< G_кр(v1_вос,v2_вос,_вос)=G_кр(4;4;0,95) = 0,6287,

и таким образом, гипотеза об однородности дисперсий подтверждается.

Для получения оценок коэффициентов модели (2) используется метод наименьших квадратов. При этом способ выбора значений x₁ и x₂ матрицы планирования позволяет все оценки коэффициентов модели определять независимо друг от друга, что обеспечивает простоту анализа и интерпретации результатов. Эти оценки вычисляются по следующим формулам:

,

,

,

.

Для примера b₀=7,505; b₁=1,585; b₂=1,325; b₁₂=0,505.

После вычисления оценок коэффициентов регрессии необходимо проверить гипотезы об их значимости, с тем, чтобы оценки, являющиеся незначимыми, принять равными нулю.

Проверка гипотез производится с использованием критерия Стьюдента. Для этого вычисляют осреднённую дисперсию для всех оценок b_i по формуле

,

а затем статистики Стьюдента

(3)

По статистической справочной таблице для числа степеней свободы v_зн=n(m–1) при заданном уровне доверительной вероятности _зн (обычно 0,95) определяют критическое значение t_кр(v_зн) и сравнивают с значениями t_i, вычисленными согласно (3). Если t_i > t_кр , то оценку b_i принимают значимой. В противном случае оценку полагают статистически незначимой и её не учитывают в уравнении регрессии.

Для рассматриваемого примера ( =20, = )

, t₀= ;

t₁=24,37; t₂=20,373; t₁₂=7,765; t_кр(v_зн)= t_кр(4;0,95) =2,776.

Таким образом, в рассматриваемой модели все коэффициенты оказались значимыми.

С учётом этого модель исследуемого процесса будет иметь вид

y = 7,505+ 1,585x₁+1,325x₂+0,505 x₁ x₂ (4)

Для того чтобы использовать модель для практических целей необходимо убедиться в том, что с её помощью можно получать приемлемые (по точности) значения характеристики в некоторой области. Поэтому при наличии незначимых коэффициентов производят оценку адекватности модели и рассеяние результатов наблюдений вблизи уравнения регрессии.

Адекватность модели оценивается по отклонениям от , предсказанным по полученному уравнению регрессии, от результата наблюдения при тех же значениях x₁ и x₂.

Рассеяние результатов наблюдений вблизи уравнения регрессии характеризуется дисперсией адекватности

,

где l – число всех значимых оценок коэффициентов регрессии. Дисперсия адекватности характеризуется числом степеней её свободы v_ад=n–l.

Если оценка дисперсии адекватности и оценка

дисперсии воспроизводимости отклика однородны, то полагают, что полученное уравнение регрессии адекватно представляет результаты опыта. Если же нет, то модель неадекватна.

Проверка гипотезы об адекватности модели производится с использованием критерия Фишера. Для этого вычисляют F – статистику Фишера (отношение выборочных дисперсий):

если > , то F = / , (5)

а если > , то F = / . (6)

По справочной таблице для числа степеней свободы v1_ад=n–l, v2_ад=v_зн=n(m–1) при заданном уровне значимости _ад определяют критическое значение F_кр и сравнивают с вычисленным по (5) или (6).

Если F<F_кр, то гипотезу об адекватности полагают правдоподобной. В противном случае математическую модель признают неадекватной.

В случае, когда n=l проверку адекватности не производят, так как она теряет смысл по причине равенства числа степеней свободы дисперсии адекватности v1_ад=0.

Когда v1_ад>0, т.е. проверка производится, но гипотеза об адекватности отвергается, необходимо либо повторить эксперименты с меньшими интервалами варьирования x_j и одновременно при большем, чем раньше, числе параллельных опытов, либо перейти к более сложной форме уравнения регрессии.

Поскольку для модели (4) все коэффициенты оказались значимыми, то проверку её адекватности проводить не требуется.