Задача 2

В результате контрольной выборочной проверки расфасовки чая осуществлена 25% механическая выборку по способу бесповторного отбора, в результате которой получено следующее распределение пачек чая по массе:

Масса пачки чая, г	До 49	49-50	50-51	51-52	52 и выше	Итого
Число пачек чая, шт.	17	52	21	7	3	100

На основании имеющихся данных:

1. Определить среднее значение.

2. Определить моду и медиану аналитическим и графическим методами. Сделать вывод о симметрии ряда распределения.

3. Оценить однородность совокупности с помощью показателей вариации.

4. С вероятностью 0,954 определить пределы средней массы одной пачки чая во всей партии продукции.

5. С вероятностью 0,988 определить возможные пределы удельного веса пачек чая с массой до 49г и свыше 52г во всей партии продукции.

Решение:

Масса пачки чая, г	Середина интервала х	Число пачек чая, шт. f	xf	(x - )2 f
До 49	48,5	17	824,5	27,42
49 – 50	49,5	52	2574	3,79
50 – 51	50,5	21	1060,5	11,19
51 – 52	51,5	7	360,5	20,95
52 и выше	52,5	3	157,5	22,36
Итого		100	4977,0	85,71

1. Среднюю массу пачки чая определим по формуле средней арифметической взвешенной:

г

2. Мода:

где х_мо – нижняя граница модального интервала;

i_мо – величина модального интервала;

f_мо – частота модального интервала;

f_мо-1 – частота интервала, предшествующего модельному;

f_мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Сначала определим интервал, который содержит моду.

Т.к. мода – это значение признака, которое имеет наибольшую частоту, то найдем f_max.

f_max = 52, значит, мода содержится в интервале от 49 до 50 г, тогда

г

Т.е. большинство пачек чая с массой в размере 49,53 г.

Моду можно определить и графически:

Медиана:

где х_ме – нижняя граница медианного интервала;

i_ме – величина медианного интервала;

– половина от общей численности частот;

S_ме-1 – накопленная частота до начала медианного интервала;

f_ме - частота медианного интервала.

Определим интервал, содержащий медиану. Медианным интервалом считается тот, для которого сумма накопленных частот составляет больше половины всей численности ряда.

Половина численности ряда .

Сумма накопленных частот первого интервала равна 17, то есть она меньше половины частот ряда (50). Сумма накопленных частот второго интервала 17+52=69 превышает половину численности ряда 50, значит, медиана находится в интервале от 49 до 50 г, тогда:

г

Т.е. половина пачек чая с массой менее 49,63 г, а другая половина – более 49,63 г.

Медиану тоже можно определить графически:

Так как Мо < Ме < , распределение пачек чая по их массе не является симметричным; асимметрия правосторонняя; большинство пачек чая с массой меньше среднего уровня.

3. Рассчитаем дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

г

Оценим однородность совокупности с помощью коэффициента вариации:

, т.к. V 33%, то данную совокупность можно считать однородной.

4. Определим возможные пределы средней производительности труда, т.е. доверительный интервал .

Т.к. отбор единиц в выборку по условию бесповторный, то определим величину предельной ошибки выборки по формуле:

где t = 2 (при p = 0,954);

n = 100 (шт.);

, т.к. по условию выборка 25%-ная механическая бесповторная, т.е. n составляет 25% от общего количества пачек чая.

Получим

Следовательно, определим границы доверительного интервала:

(49,8 – 0,16; 49,8 + 0,16)

(49,64; 49,96).

Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя масса пачки чая во всей партии продукции изменяется от 49,6 до 50 грамм.

5. Определим возможные пределы доли пачек чая с массой до 49 г и свыше 52 г, т.е. доверительный интервал: .

Рассчитаем долю пачек чая с массой до 49 г и свыше 52 г. По условию таких пачек 17 + 3 = 20 шт., значит:

или 20%.

Т.к. отбор единиц в выборку по условию бесповторный, то определим величину предельной ошибки выборки по формуле:

,

где t = 2,51 (при p = 0,988), тогда получим

или 8,7%.

Определим границы доверительного интервала:

(20 – 8,7; 20 + 8,7)

(11,3; 28,7)

Таким образом, с вероятностью 0,988 можно утверждать, что доля пачек чая с массой до 49 г и свыше 52 г во всей партии продукции изменяется от 11,3 до 28,7%.