1.1.7. Определение числа

К середине XIX века усилиями ряда мыслителей стал, наконец, проясняться характер связи математики и логики, единство которых было предугадано ещё Лейбницем. Осознание тесной связи пришло со стороны математиков. Первый шаг на этом пути был сделан трудами англичан А.Де Моргана и Дж.Булля. Предложив алгебраическую интерпретацию логических отношений, они создали предпосылки для создания математизированной логики, которая нашла своё окончательное выражение в трудах немецкого математика Э.Шрёдера. Рассматриваемая как раздел алгебры, логика предстала здесь как совокупность вычислительных процедур, распространённых с отношений между переменными величинами на отношения между переменными содержаниями. Однако несмотря на зримые достижения, такой подход таил одно парадоксальное следствие. С одной стороны, логика представлялась разделом математики; с другой стороны, понимаемая как наука об универсальных законах мышления, логика должна была оправдать в том числе и математические рассуждения. Выход из затруднительной ситуации был найден Г.Фреге, который взамен математизированной логики предложил логизированную математику.

Несмотря на новизну предложенного решения, суть новаций не выходила за рамки внутренних интенций развития современной математики. Создание неколичественной алгебры, теории трансфинитных чисел и т.д. всё более зримо указывало на отсутствие связи между математическими положениями и эмпирическим исследованием. Наличие независимых друг от друга, но в равной степени обоснованных теорий типа неэвклидовых геометрий требовало нового обоснования специфики математического рассуждения. Таким образом, математика всё более утрачивала эмпирическую основу, что приводило к двум важным следствиям. Во-первых, математические символы всё более и более теряли конкретную связь с пространственными и количественными отношениями, приобретая формальный характер, более свойственный логике, которая, отвлекаясь от содержания мысли, оперирует чистыми формами, репрезентирующими последовательность рассуждений. Математика становится наукой о порядке. Во-вторых, математическое знание более не рассматривается как совокупность истин об особом роде предметов, как считалось со времён Платона, а понимается как выведение следствий. Математики отказываются от понимания истины как определённой адеквации между продуцируемым ими знанием и действительностью. Критерием истины становится непротиворечивость следствий, полученных из исходных постулатов. Стало быть, и в этом отношении логика, как анализ непротиворечивости рассуждения, приобретает исключительное значение. Оба следствия, по существу, содержат требование логического прояснения лежащих в основании математики понятий. Исследование должно выявить их структурные особенности, обеспечивающие возможность сугубо формального подхода, и гарантировать непротиворечивость формулируемых с их помощью постулатов.

В этом русле как раз и развиваются идеи Фреге, который ставит перед собой проблему выяснения того, как далеко можно продвинуться в арифметике только с помошью умозаключений. Свою задачу он видит в том, чтобы свести основное понятие арифметики 'упорядочивание в ряд' к логической последовательности и на этом пути объяснить понятие числа. Отсюда возникает своеобразная программа создания логизированной математики, получившая название логицизма. В общем виде эта программа результируется в двух принципах: во-первых, все понятия арифметики должны быть определены с помощью понятий логики и, следовательно, все утверждения арифметики должны быть преобразованы в утверждения логики; во-вторых, в результате такого перевода все истины арифметики должны стать истинами логики. Если учесть, что вся математика может быть сведена к арифметике, данная программа представляет собой проект последовательного выведения всего математического знания из логического. Несмотря на то, что осуществление задач, поставленных Фреге, в целом носит технический характер и на первый взгляд далеко отстоит от насущных проблем философии, их реализация имеет исключительный характер, в том числе и для последней. Со времён Канта истины арифметики и логики считались истинами совершенно различных типов, проходя под рубрикой синтетических и аналитических соответственно. Успешная реализация логицистской программы потребовала бы пересмотра характера всего математического знания, устранив из области арифметики созерцание.

Определяя число в логических терминах, Фреге начинает с того, что переводит анализ чисел в область понятий. С его точки зрения, указание на определённое число предполагает соответствующее понятие, под которое подпадает это же самое количество предметов. Например, "понятию соответствует число 0, если при любом а, предложение, что а не подпадает под это понятие, имеет всеобщее значение. Сходным образом можно сказать: понятию F соответствует число 1, если при любом а, предложение, что а не подпадает под F, не имеет всеобщего значения и если из предложений "а подпадает под F" и "b подпадает под F" всегда следует, что a и b суть одно и то же"[59]. Такой подход представляется очевидным, и аналогичным образом можно построить весь ряд чисел. Но этого определения явно не хватает, поскольку неясно, что именно считать числом, а что нет. Поэтому данное определение необходимо дополнить общим понятием числа, которое не использовало бы указание на какое-то конкретное число, и уже отталкиваясь от него, дать определение отдельных чисел. С точки зрения Фреге, число представляет собой предмет и, стало быть, всегда, когда речь идёт о количестве чего-то, как, например, в предложении "Число спутников Юпитера есть четыре" связка есть употребляется не атрибутивно, а как равенство. Поэтому действительная форма данного предложения должна выглядеть следующим образом: "Число четыре равно числу спутников Юпитера". Таким образом, чтобы определить число, необходимо эксплицировать смысл равенства. Равенство определяется через отношение взаимнооднозначного соответствия двух классов, представляющих собой объёмы некоторых понятий. Поэтому число можно понимать как то, что соответствует классу всех тех классов, которые имеют одинаковое количество предметов. Так, например, число два соответствует классу всех тех классов, которые содержат ровно два предмета, число три соответствует классу всех тех классов, которые содержат три предмета, и т.д.

Подобное определение числа не содержит круга, как может показаться на первый взгляд, поскольку определение равенства двух классов не обязательно требует указания на число содержащихся в них предметов. Так, например, ожидая прихода гостей, мы можем сказать, что на накрытом столе в результате будет ровно столько обеденных приборов, сколько придёт гостей, хотя можем и не знать заранее, сколько их будет точно. Класс гостей и класс столовых приборов в этом случае находятся во взаимнооднозначном соответствии и согласно терминологии Фреге являются равными. Учитывая, что класс представляет собой объём понятия, общее определение числа можно было бы тогда ввести следующим образом: "Выражение "n есть число" равнозначно выражению "Существует понятие такое, что n есть соответствующее ему число""[60]. Таким образом, число можно определить как то, что соответствует классу всех тех классов, которые равны некоторому данному классу. Например, можно было бы сказать, что число два соответствует классу всех тех классов, которые равны классу спутников Марса, а число три соответствует классу всех тех классов, которые равны классу граций, и т.д. Однако такое понимание числа было бы сугубо эмпирическим, а стало быть, бесполезным для целей арифметики. Поэтому при определении каждого числа необходимо найти такое понятие, которое имело бы не только соответствующий объём, но и вводилось бы с помощью исключительно логических терминов, т.е. аналитически.

Фреге развивает данную программу с определения нуля, который соответствует классу всех тех классов предметов, которые не равны сами себе. Так как не существует предметов, неравных самим себе, - Фреге считает данное утверждение аналитическим в смысле Канта - есть только один подходящий класс, это класс не содержащий элементов, нуль-класс. Входящие в него предметы как раз и подпадают под соответствующее понятие, как указано выше. Отталкиваясь от определения нуля, можно ввести все остальные числа. Поскольку нуль-класс единствен, то число один определяется как то, что соответствует классу всех тех классов, которые равны классу нуль-классов, или как то, что соответствует классу всех тех классов, которые равны классу, чьим единственным элементом является нуль-класс. Число два определяется как то, что соответствует классу всех тех классов, которые равны классу, содержащему нуль-класс и класс нуль-классов, т.е. класс, соответствующий числу один. Число три определяется как то, что соответствует классу всех тех классов, которые равны классу, содержащему нуль-класс, класс, которому соответствует число один, и класс, которому соответствует число два. Эти определения можно продолжить до бесконечности. Заметим, что данные определения сохраняют отношение порядка и все известные свойства ряда натуральных целых чисел.

Определения числа в терминах логики позволило: во-первых, рассмотреть способы рассуждения, ранее считавшиеся сугубо математическими (например, принцип математической индукции), как разновидность логического метода получения следствий; во-вторых, объяснить природу трансфинитных и комплексных чисел, существование которых казалось парадоксальным. Таким образом, арифметика получала столь необходимое ей достоверное основание, которое связывалось с очевидностью логического знания.