4.Решение уравнений с одной переменной методом касательных (Ньютона).

Mетод касательных (Ньютона) Рассмотрим графическую иллюстрацию метода (рис.8).

Пусть на графике определено начальное приближение x0 корню. В точке x0 вычислим левую часть решаемого уравнения f0= f(x0) , а также производную в этой точкеf'(x0) = tg a Следующее приближение к корню найдем в точке x1, где касательная к функции f(x), проведенная из точки (x0, f0 ), пересекает ось абсцисс. Принимаем точку x1 за начальную и продолжаем итерационный процесс.Из рис.8 видно, что таким способом можно приближаться к корню . При этом с каждой итерацией расстояние между очередным xk+1 и предыдущим xk приближениями к корню будет уменьшаться. Процесс уточнения корня закончится, когда выполнится условие где e- допустимая погрешность определения корня. Из геометрических соотношений рис.8 получим основную формулу метода Ньютона: x1= x0 - f(x0) /f '(x0). В общем виде для k-го шага итерационного процесса последнее соотношение принимает вид: xk - f(xk) /f '(xk). Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости. Так, абсолютная точность решения 10-5 - 10 -6 достигается через 5-6 итераций. Недостатком метода является необходимость вычисления на каждой итерации не только левой части уравнения, но и ее производной.

5.Решение уравнений с одной переменной методом половинного деления.

Зададим погрешность e, до которой будем вычислять корень. Разделим отрезок [X1, X2]пополам точкой С = (X1, X2)/2 (рис.5). Если , то возможны два случая: либо F(x)меняет знак на отрезке [X1, С] (рис.5, а), либо на отрезке [С, X2] (рис.5, б). Процесс продолжаем до тех пор, пока длина отрезка,на котором функция имеет противоположные знаки, не станет меньше заданной погрешности e. На рис.6 приведена блок-схема алгоритма уточнения выделенного корня на отрезке [X1, X2] с заданной точностью e методом дихотомии (половинного деления).

Метод дихотомии позволяет значительно уменьшить объём вычислений по сравнению с графическим методом. Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень, уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен (X1 - X2)/2 n . За 10 итераций интервал уменьшится в раз, за 20 итераций - в раз.

Wolanbaeva Aigerim

Jok

Laura

13.Практическая схема решения систем линейных уравнений на ПК

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является одной из основных задач линейной алгебры. Эта задача имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем. Кроме того, является вспомогательной при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов эксᴨȇриментальных исследований.

Применяемые на практике численные методы решения СЛАУ делятся на две группы - прямые и итерационные.

В прямых (или точных) методах решение системы получают за конечное число арифметических действий. К ним относятся известное правило Крамера нахождения решения с помощью определителей, метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) и его модификации, метод прогонки и другие. Сопоставление различных прямых методов проводится обычно по числу арифметический действий, необходимых для получения решения. Прямые методы являются универсальными и применяются для решения систем до порядка 10³. Отметим, что вследствие погрешностей округления при решении задач на ЭВМ прямые методы на самом деле не приводят к точному решению системы.

Итерационные (или приближенные) методы являются бесконечными и находят решение системы как предел при k последовательных приближений x^(k), где k - номер итерации. Обычно задается точность и вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполнена оценка x^(k) - x^(k-1) < . Число итераций n(), которое необходимо провести для получения заданной точности, для многих методов можно найти из теоретических рассмотрений. Качество различных итерационных методов можно сравнивать по необходимому числу итераций n(). Эти методы особенно предпочтительны для систем с матрицами сᴨȇциального вида - симметричными, трехдиагональными, ленточными и большими разреженными матрицами.

Выбор среды программирования.

После проведенного обзора программных средств мы выбрали среду программирования наиболее подходящую нам как очень удобное средство для разработки данного программного продукта. DELPHI 5.0 является наиболее выгодной нам средой программирования.