1.5. Схема випробувань із повтореннями

Нехай проводяться випробувань, у кожному з яких подія може як відбутись, так і не відбутись. Якщо ця ймовірність у кожному випробуванні не залежить від того, відбулась вона в інших випробуваннях чи ні, то такі випробування називаються незалежними. Випробування також незалежні, якщо в кожному з них імовірність настання події однакова, тобто дорівнює тому самому числу.

Формула Бернуллі. Імовірність того, що в випробуваннях, у кожному з яких імовірність події однакова і дорівнює , подія відбудеться разів, знаходимо за формулою:

. (1.8)

Формула застосовується, якщо .

Найімовірніше число. Частота настання події в незалежних повторних випробуваннях називається найімовірнішим числом (появи цієї події), якщо їй відповідає найбільша ймовірність. Визначається за формулою:

. (1.9)

Розподіл може мати одне або два найімовірніші числа.

Локальна теорема Лапласа. Імовірність того, що в незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність події однакова і дорівнює , подія відбудеться разів, подається такою наближеною залежністю:

, де , . (1.10)

Локальна теорема Лапласа дає змогу обчислювати ймовірності , якщо і .

Формула Пуассона. Якщо в кожному з незалежних повторних випробувань імовірність події однакова і дорівнює , і , а велике, то

, . (1.11)

Інтегральна теорема Лапласа. Імовірність того, що в незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність події однакова і дорівнює , подія відбудеться від до разів, подається формулою:

, , , (1.12)

де – інтегральна функція Лапласа.

Відхилення відносної частоти від імовірності. Імовірність того, що при проведенні незалежних випробувань відхилення відносної частоти події від її ймовірності за модулем не перевищить , визначається за формулою:

. (1.13)

2. Випадкові величини

2.1. Закони розподілу і числові характеристики випадкових величин

Випадковою називається величина, яка може набувати різних числових значень. Дискретною називається випадкова величина, що має скінченну множину значень.

Співвідношення між значеннями випадкової величини та їх імовірностями називається законом розподілу випадкової величини.

Закон розподілу дискретної випадкової величини (ДВВ) можна задавати у вигляді таблиці:

			...
			...

де .

Математичним сподіванням ДВВ називається сума добутків усіх її значень на відповідні їм імовірності:

. (2.1)

Дисперсія ДВВ – це математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:

. (2.2)

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називається арифметичне значення квадратного кореня від дисперсії:

. (2.3)

Універсальним способом задання закону розподілу ймовірностей є функція розподілу , яка виражає ймовірність того, що випадкова величина набуде якого-небудь значення, менше від заданого.

Щільністю ймовірності називається похідна від функції розподілу випадкової величини .

Математичне сподівання неперервної випадкової величини:

або . (2.4)

Дисперсія неперервної випадкової величини:

(2.5)

або

. (2.5а)