7. Показникова та логарифмічна функції.

Функція , де >0 і , називається показниковою (з основою ).

Властивості показникової функції ( >0, )

1. >1

Рис 7.1

1.Область визначення функції - D(y)=R

2. Область значень функції - E(y)=(0;+∞)

3.Парність, непарність - Функція не є ні парною, ні непарною.

4. Перетин з осями координат - Графік функції розміщений у верхній півплощині, перетинає вісь Оу у точці (0;1), вісь Ох є для нього асимптотою

5.Монотонність - Функція зростає на R

6.Проміжки знакосталості - Для будь-якого х - f(x)>0

2. 0< <1

Рис. 7.2

1.Область визначення функції - D(y)=R

2. Область значень функції - E(y)=(0;+∞)

3.Парність, непарність - Функція не є ні парною, ні непарною.

4. Перетин з осями координат - Графік функції розміщений у верхній півплощині, перетинає вісь Оу у точці (0;1), вісь Ох є для нього асимптотою

5.Монотонність - Функція спадає на R

6.Проміжки знакосталості - Для будь-якого х - f(x)>0

Логарифмічною називається функція , де a>0, a1, обернена до показникової у=а^х.

Властивості логарифмічної функції

1. , a>1

Рис 7.3

1. Область визначення функції D(f) = ( 0; +∞)

2. Область значень функції E(f) = ( -∞;+∞)

3. Парність, непарність. Функція не є ні парною, ні непарною (функція загального вигляду).

4. Перетин з осями координат Якщо х=1, то у=0, тобто графік проходить через точку (1;0)

5. Проміжки знакосталості Якщо х>1, то f(x)>0;

Якщо х<1, то f(x)<0.

6.Монотонність Монотонно зростає на R

2. , 0<a<1

Рис 7.4

1. Область визначення функції D(f) = ( 0; +∞)

2. Область значень функції E(f) = ( -∞;+∞)

3. Парність, непарність. Функція не є ні парною, ні непарною (функція загального вигляду).

4. Перетин з осями координат Якщо х=1, то у=0, тобто графік проходить через точку (1;0)

5. Проміжки знакосталості Якщо х>1, то f(x)<0; Якщо х<1, то f(x)>0.

6.Монотонність Монотонно спадає на R.

8. Основні можливості наочності викладання теорії функцій в курсі алгебри з використанням програмного комплексу Microsoft Mathematics 4.0

У 2012 році в Україні стартував національний проект «Відкритий світ». Суть цього проекту зводиться до апробації використання високоякісних мультимедійних засобів у навчальному процесі, використання електронних ресурсів у навчанні учнів загальноосвітніх шкіл. Проект опирається на створення інформаційної інфраструктури на основі безпровідної мережі 4-го покоління, стандартизації та уніфікації методики навчання та створення централізованої системи навчання та оцінки знань учнів, и використання мультимедійних засобів як альтернативу застарілим символам навчання (пластикова класна дошка та крейда).

Сутність мультимедійних засобів навчального процесу в школі полягає в застосуванні:

1. На першому технічному етапі – пасивного проектора (мінікомп'ютера), який на білий екран проектує копію екрана управляючого комп’ютера;

2. На другому технічному етапі – пасивного телевізора з екраном до 1 м по діагоналі, екран якого через системний інтерфейс повторює копію екрана управляючого комп’ютера;

3. На третьому сучасному технічному етапі – активно-пасивної «електронної класної дошки», яка є самостійним комп’ютером з операційною системою та може самостійно виконувати завдання, які вводяться за допомогою інтерактивної «псевдо клавіатури» на частці екрану дошки, а також може працювати як пристрій другого технічного етапу, транслюючи копію екрана управляючого комп’ютера.

Найбільш досконалим сучасним мультимедійним засобом навчального процесу в загальноосвітній школі є «Інтерактивна електронна дошка», яка являє собою пристрій, що виконує роль додаткового сенсорного комп’ютерного монітора. Це гнучкий інструмент, що сполучає в собі простоту звичайної маркерної дошки з можливостями комп'ютера. Подібно до звичайного комп’ютерного монітора управління прикладними програмами здійснюється або курсором мишки, або з екранної клавіатури, що виведена на поверхню дошки. Роль курсору мишки на цьому вторинному моніторі з сенсорною поверхнею виконує будь-який твердий предмет, зокрема палець, маркер або указка.

Перші інтерактивні дошки були випущені компанією SMART Technologies в 1991 році. Нині у світі існує 11 основних виробників мультимедійних дошок. Найпоширенішими у навчальному процесі є дошки таких торгових марок: «SMART Technologies», «Panasonic», «Hitachi», «Webster», «Polyvision», «PROMETHEAN ltd».

Позитив від використання інтерактивної дошки:

• обсяг матеріалу, який можна показати, обговорити, виправити, акцентувати на уроці набагато більший ніж при використання звичайної дошки;

• усі уроки, розроблені вчителем зберігаються в пам’яті машини їх можна коректувати, доповнювати, змінювати;

• де б не сиділа дитина на першій чи на останній парті – з кожного куточка класу чудово видно презентаційний матеріал;

• більшість учнів мають вдома комп’ютер і використання інтерактивної дошки на уроці – це крок до розуміння вимог дитини і вимог викладача;

• дозволяє в реальному часі наносити на проектоване зображення позначки на важливі ділянки, малювати схеми або коректувати їх;

• не відходячи від дошки, можна зберегти виконану роботу у файлі, роздрукувати або відправити по електронній пошті;

• в процесі виступу можна зберігати зображення, отримані на певних етапах, і при необхідності, миттєво повертати їх на дошку;

• можна створити гіперпосилання з одного файлу на другий – наприклад: аудіо-, відео-файли, Інтернет-сторінки;

• використовувати інтерактивну дошку можуть вчителі, які не володіють комп’ютером на належному рівні;

Таким чином, інтерактивна дошка навіть при використанні тільки найпростішого встановленого програмного забезпечення дозволяє підготувати провести уроки на якісно новому рівні.

Інтерактивна або мультимедійна дошка об’єднала в собі комп’ютер, екран та проектор, наділивши їх новими дидактичними та технічними можливостями, пов’язаними з Інтернет-ресурсами (рис. 3.1.1).

Рис. 3.1.1. Загальний вигляд інтерактивної «електронної» класної дошки

Інтерактивна дошка у комбінації з мультимедійним проектором стає великим інтерактивним екраном, одним дотиком руки до поверхні якого, можна відкрити будь-який комп'ютерний додаток або сторінку в Інтернеті й демонструвати потрібну інформацію або просто малювати. Усе, що Ви намалювали або написали, програмне забезпечення інтерактивної дошки дозволяє зберегти у вигляді комп'ютерних файлів, роздрукувати, послати по електронній пошті, навіть зберегти у вигляді Web-сторінок і розмістити їх в Інтернеті. При роботі з інтерактивною дошкою учень засвоює інформацію не тільки через аудіальний і візуальний канали сприйняття, але й через кінестетичний канал, який майже не використовується в сучасній педагогіці.

До складу навчального комплексу входять:

– інтерактивна дошка Smart Board (чутливий до дотику екран);

– власне програмне забезпечення;

– персональний комп'ютер (настільний або переносний);

– мультимедійний проектор.

Інтерактивна дошка дає змогу викладачеві чи доповідачу поєднати два різні інструменти: екран для відтворення інформації і традиційну маркерну дошку. Інформація відтворюється на екрані за допомогою мультимедійного проектора, підключеного до того ж комп'ютера, а спеціальні ручки, інші тверді предмети чи палець руки можуть бути використані для написання на екрані тексту, проведення різних ліній та їх видалення електронною гумкою.

Чутливі властивості екрана дають змогу користувачеві дотиками до його поверхні переміщувати курсор і здійснювати функції лівої та правої миші. Дотик пальцем чи іншим предметом до поверхні дошки викликає такий же ефект, як звичне клацання лівою клавішею миші. Для того щоб відкрити, наприклад, будь – який додаток, треба натиснути пальцем один чи два рази на піктограму додатку. Напрямок переміщення курсору збігається з напрямком переміщення пальця.

Віртуальна екранна клавіатура, яка також входить до складу програмного забезпечення Smart Board, у разі необхідності може замінити звичайну. Не відходячи від дошки, можна швидко ввести текст або показати, як користуватися комп'ютерною клавіатурою.

Суттєвою перевагою комплексу Smart Board є те, що його програмне забезпечення дає змогу одним дотиком пальця відкрити будь – який комп'ютерний додаток чи сторінку в Інтернеті, продемонструвати заздалегідь створений матеріал чи просто щось намалювати, зберегти тільки що створене у вигляді комп'ютерного файлу, роздрукувати, відправити чи розмістити в Інтернеті тощо. дуже важливим для навчання є також те, що створення об'єктів та їх редагування можна здійснювати безпосередньо в додатках Word, Excel, Power Point та ін., а весь процес роботи на екрані можна записати у відеофайл, потім за допомогою універсального програвача відтворити на екрані або на моніторі комп'ютера.

В законі України «Про освіту» зазначено, що метою освіти є всебічний розвиток людини як особистості та найвищої цінності нашого суспільства. Звідси випливає одне з основних завдань школи: поліпшення якості навчання, виховання і розвитку учнівської молоді.

Щоб досягти цього слід постійно вдосконалювати зміст освіти, методи, форми і засоби навчання. Серед них важливе місце належить технічним засобам навчання (ТЗН). Про значення ТЗН в навчально-виховному процесі свідчать такі факти. Для розпізнавання раніше невідомого предмету людині потрібна така кількість часу:

– при словесному описуванні предмета – 2,8 с.;

– при показі предмета на чорно-білому фото – 1,2 с.;

– при показі предмета на кольоровому фото – 0,9 с.;

– при показі предмета засобами кіно і телебачення – 0,7 с.;

– при показі предмета в натурі – 0,4 с.

Учні пізнають навколишній світ за допомогою всіх сенсорних органів чуття. Проте, основними каналами отримання інформації є зорові аналізатори. Сенсорна система «вухо-мозок» пропускає за секунду 50 одиниць інформації, а система «око-мозок» – 500 одиниць інформації за секунду. Тому невипадково, що 90 відсотків всієї інформації учні отримують за допомогою зору, а 10 відсотків за допомогою слуху [34].

Вже 8 років, як перші інтерактивні «електронні» дошки типу SMART Board появились в українських школах на уроках інформатики. У світового лідера з освіти – Великобританії – 73% всіх класів мають інтерактивну класну дошку типу SMART Board, в США – 40%, в Мексиці – 30%, в Португалії – 30%, в Іспанії – 25%, в Німеччині та Росії – 10%, в Україні – 2%.

Розмір зображення на інтерактивній дошці типу SMART Board по діагоналі складає 195,6 см, що відповідає всім ергономічним вимогам тексту з першої і останньої парти в класі.

В склад інтерактивної дошки входить власна операційна система та прикладне програмне забезпечення SMART Notebook 11, також дошка працює як другий (проекційний) дисплей підключеного до неї комп’ютера викладача.

Для використання в процесі викладання курсів алгебри функцій в загаль-ноосвітній школі з застосуванням інтерактивної дошки типу SMART Board в дипломному проекті розглянутий професійний математичний пакет фірми Microsoft для загальноосвітньої школи Microsoft Mathematics 4.0 .

Microsoft Mathematics 4.0 (випущений фірмою Microsoft з 11 січня 2011 року як безкоштовний програмний продукт) – це спеціальний калькулятор для розв’язання математичних задач, візуалізації двомірних та трьохмірних графіків. Інструмент не можна порівнювати з можливостями професійних англомовних графічних пакетів Maple або Mathematica, але він є надзвичайно корисний для процесу навчання математики в загальноосвітній школі.

Особливостями застосування програмного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 в загальноосвітній школі на комп’ютерних робочих станціях у комплексі з інтерактивною класною дошкою типу SMART Board є наступне:

1. Наявність планшетної технології набору всіх алгебраїчних виразів та виконання всіх дій дотиком пальця чи світовим лазерним пером до спеціальної «калькуляторної» клавіатури інтерфейсів управління;

2. Наявність планшетної технології набору всіх алгебраїчних виразів та виконання всіх дій дотиком пальця (для планшетів з ОС Windows 8), або застосування маніпулятора «миш» для звичайних комп'ютерів при роботі з спеціальною «калькуляторною» клавіатурою оконних інтерфейсів управління;

3. Розв’язання рівнянь, нерівностей та побудова графіків функцій з використанням системи управління «калькуляторною» клавіатурою операцій, яка не потребує ручного набору операторів мов програмування на англійській мові, як в загальновідомих професійних математичних англомовних пакетах MAPLE, MATHCAD, MATLAB;

4. Динамічне форматування побудованих графіків, можливість переміщення по осях координат для пошуку необхідних інтервалів, динамічна деталізація в масштабі в точках перетинання для графічного пошуку рішень чи інтервалів розв’язання;

5. Побудова графіків систем функцій та побудова графіків спеціальних функцій (функції, які включають модулі виразів; складні функції, які включають одночасно логарифмічні, ірраціональні та тригонометричні функції та побудова яких крейдою на безмасштабній класній дошці неможлива).

Багатооконний інтерфейс Microsoft Mathematics 4.0 включає повнофункціональний калькулятор з можливістю побудови графіків, що працює точно так само, як звичайний калькулятор. Додаткові математичні засоби дозволяють порівнювати трикутники, перетворювати дані з однієї системи виміру в іншу й вирішувати системи рівнянь (рис. 3.1.2).

Рис. 3.1.2. Використання Microsoft Mathematics для побудови найскладніших графіків суперпозицій тригонометричних функцій

Можливості управління масштабом вікна графіків дозволяє проводити операції інтерактивної зміни масштабу окремо по кожній з координатних осей, що дозволяє наочно розглядати довільний проміжок побудованої функції (рис. 3.1.3).

Рис. 3.1.3 Масштабування видимих осей координат побудованої функції для аналізу деталізованих проміжків в Microsoft Mathematics 4.0

Рис. 3.1.4. Порівняння якості та наочності побудованих графіків складної функції в альтернативному англомовному програмно-графічному калькуляторі MAPLESOFT Calculator (на базі MAPLE 11)

Як показує порівняльний аналіз якості управління графіками, інтерфейсних вікон графічної побудови та наявності/відсутності динамічного масштабування графіків (функція , побудована в пакеті Microsoft Mathematics 4.0 та в пакеті MAPLESOFT Calculator (на базі MAPLE 11)):

• функціональні можливості обох пакетів по побудові графіків близькі, але інтерфейс управління пакету MAPLESOFT Calculator набагато важчий для школярів не тільки за англомовністю, але і за принципами набора функцій та управління ними;

• пакет Microsoft Mathematics 4.0 дозволяє будувати множину різних функцій на одному графіку, а пакет MAPLESOFT Calculator призначений для побудови тільки однієї функції, тобто не дає можливості одночасного спостереження за характером змін різних функцій;

• в пакеті Microsoft Mathematics 4.0 на графіках нанесена оцифрована шкала змінних X, Y, а в пакеті MAPLESOFT Calculator шкала задається на окремому табло і на полі графіків видна тільки відповідними масштабними рисками.

Таким чином, функціональні можливості аналізуємого в дипломному дослідженні програмно-графічного пакету Microsoft Mathematics 4.0, який з лютого 2011 року випущений фірмою Microsoft в російськомовному варіанті з вільною ліцензією для масового використання в учбових закладах, є найбільш досконалий для застосування в загальноосвітніх школах з одночасним застосуванням його як в шкільних комп’ютерних класах з інтерактивними «електронними» класними дошками, так і на домашньому комп’ютері школяра при виконанні домашніх завдань.

алгебра функція підручник школа