Іі. Вивчення аксіом стереометрії та наслідків з них.

Стереометрія – це розділ геометрії, що вивчає фігури у просторі. Найпростішими фігурами простору є:

• точка: А, В, С,...

• пряма: а, в, с,...

• площина: ,..., (АВС).

Оскільки пло­щина – нова найпростіша фігура, то треба сформулювати аксіо­ми, що виражають властивості площини. Розглянемо три аксіоми стереометрії, зведені в одну таблицю.

Оскільки точка і пряма також є основними фігурами простору, то всі аксіоми планіметрії переходять у стереометрію і систе­ма аксіом стереометрії складається з дев'яти аксіом планімет­рії і трьох аксіом групи С.

У планіметрії розглядається одна площина, на якій розташовуються всі розглядувані фігури. У стереометрії нескінченно багато площин. У зв’язку з цим формулювання деяких аксіом планіметрії в якості аксіом стереометрії вимагають уточнення. Це стосується аксіом IV, VII, VIII, IX.

IV. Пряма, що належить площині, розбиває її на дві півплощини.

VII. Від півпрямої на площині, що її містить, у задану півплощину можна відкласти кут з заданою градусною мірою, меншою 180^○, і лише один.

VIII. Який би не був трикутник, існує рівний йому трикутник у даній площині у заданому розташуванні відносно даної півпрямої у цій площині.

ІХ. На площині через дану точку, що не лежить на даній прямій, можна провести не більше однієї прямої, паралельної даній.

Наслідки з аксіом

Теорема 1. Через пряму і точку, що не належить даній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.

а

Дано: пряма а, точка В а.

В .

Довести: 1) існує {а, В};

2) єдина.

Доведення

1) Виберемо на прямій а довільну точку А. Проведемо пряму в {А;В} (аксіома І). а і в різні, оскільки В а. За аксіомою С3: а і в визначають площину .

У ході доведення вчитель разом з учнями шляхом системи запитань складає таблицю.

Твердження	Обґрунтування
Виберемо на прямій а довільну точку А Через А і В можна провести пряму в Прямі а і в різні Через прямі а і в можна провести площину Площина проходить через пряму а і точку В	1. За аксіомою про існування точок, які належать прямій 2. За аксіомою про можливість проведення прямої через дві точки 3. Оскільки точка В не належить прямій а 4. За аксіомою про можливість проведення площини через дві прямі, які мають спільну точку 5. Тому що проходить через а за побудовою, а через В, тому що В належить в; проходить через в за побудовою

2) Доведемо єдиність (методом від супротивного).

Нехай існує ще одна площина , що проходить через а і точкуВ. За аксіомою С2: точка В належить прямій а. Це суперечить умові, що В   а. Припущення не вірне.

Теорему доведено.

Теорема 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

А |

.

В |

Наслідок. Пряма і площина

не перетинаються перетинаються

(немає спільних точок) (мають одну спільну точку)

(принаймні дві спільні точки)

(Цю теорему учні доводять зі складанням таблиці і оформлюють вдома самостійно).

Теорема 3. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і при цьому тільки одну.

.

A

C

.

Дано: а.

.

B

Довести: 1) існує ;

2) – єдина.

Учитель разом з учнями складає таблицю – колективний пошук доведення, оформлюють доведення учні вдома самостійно.

Твердження	Обґрунтування
Проведемо прямі АВ і АС Прямі АВ і АС різні Через прямі АВ і АС можна провести площину Точки А, В, С належать площині	За аксіомою про можливість проведення прямої через дві точки Точки А, В і С не лежать на одній прямій За аксіомою про можливість проведення площини через дві прямі, які мають спільну точку Точки А, В і С належать до прямих АВ і АС, а вони належать площині за побудовою

Доведення.

1) Проведемо прямі АВ і АС, вони різні, оскільки а. За аксіомою С3: через прямі АВ і АС можна провести площину .

2) Доведемо єдиність.

За теоремою 2 (якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині): . За аксіомою С3 така площина єдина.

Теорему доведено.