Ііі. Задачі на доведення

Задача 1. Точки А, В, С і D не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі АВ і СD не перетинаються.

Доведення.

• Скористаємось методом від супротивного.

• Яке можемо зробити припущення?

• Маємо дві прямі, що перетинаються. Яке з щойно вивчених тверджень можемо застосувати?

• Якщо прямі АВ і СD визначають площину , то який висновок можемо зробити щодо точок?

• У чому полягає отримане протиріччя?

Нехай прямі АВ і СD перетинаються, тоді за аксіомою С3: , а це означає, що точки А, В, С і D лежать в одній площині. Отримали протиріччя з умовою задачі. Значить прямі АВ і СD не перетинаються.

Задача 2. Чотири точки не лежать в одній площині. Чи можуть будь-які три з них лежати на одній прямій.

Доведення.

• Яке можна висунути припущення?

• Яке відоме вам твердження можна застосувати?

• З якою умовою ми отримали протиріччя?

Нехай три точки лежать на одній прямій, а четверта не належить цій прямій. Тоді за теоремою-наслідком 1 можна провести єдину площину, якій належить дані пряма і точка. Це означає, що задані умовою чотири точки належать одній площині. За умовою задачі це не можливо. Значить будь-які три з цих точок не можуть лежати на одній прямій.

IV. Підсумок уроку

Сьогоднішній урок було присвячено ідеї дедуктивної побудови геометрії, походженню та ролі первісних понять і аксіом, ми пригадали аксіоми планіметрії, ознайомилися з аксіомами стереометрії та наслідками з них. Завершити урок хочеться прикладами використання аксіом та їх наслідків у виробничій діяльності людини.

1. Тесляр перевіряє, чи розміщуються кінці ніжок стола в одній площині, від чого залежить стійкість стола. Він натягує нитки на кінці ніжок і перевіряє, чи перетинаються вони (аксіома С3).

2. Тесляр перевіряє якість поверхні стола, що виготовляється, прикладаючи до кришки в різних напрямках лінійку. Якщо між лінійкою і кришкою стола немає просвітів, то стіл виготовлено якісно (теорема 2).

3. На теоремі 3 ґрунтується будова штативів для фотоапаратів і різних геодезичних приладів. Кінці ніжок штативів належать одній площині, внаслідок чого прилад займає стійке положення.

Тестові завдання

2. Н

   D₁

   С₁

   а малюнку зображено куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Знайдіть кути трикутника В₁D₁С.

В₁

А₁

D

C

B

A

3. Як розмістити три прямі так, щоб вони утворили 12 прямих кутів?

4. Чи вірно, що пряма, яка має з колом тільки одну спільну точку, є дотичною до кола в цій точці:

1) на площині; 2) у просторі?

4. Довести, що через дві довільні точки можна провести хоча б одну площину.

5. Чи можна стверджувати, що всі точки кола належать площині, якщо це коло має з даною площиною:

1) дві спільні точки; 2) три спільні точки.

6. Через три точки можна провести дві різні площини. Як розташовані ці точки?