Релятивистский импульс

Уравнения классической механики инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея, по отношению же к преобразованиям Лоренца они оказываются неинвариантными. Из теории относительности следует, что уравнение динамики, инвариантное по отношению к преобразованиям Лоренца, имеет вид:

где  - инвариантная, т.е. одинаковая во всех системах отсчета величина называемая массой покоя частицы, v- скорость частицы,  - сила действующая на частицу. Сопоставим с классическим уравнением

Мы приходим к выводу, что релятивистский импульс частицы равен

(6.7)

Релятивистская масса.

Определив массу частицы m как коэффициент пропорциональности между скоростью и импульсом, получим, что масса частицы зависит от ее скорости.

(6.8)

Энергия в релятивистской динамике.

Для энергии частицы в теории относительности получается выражение:

(6.9)

Из (2.3) следует, что покоящаяся частица обладает энергией

(6.10)

Эта величина носит название энергии покоя частицы. Kинетическая энергия, очевидно, равна

(6.11)

Приняв во внимание, что  , выражение для полной энергии частицы можно написать в виде

(6.12)

Из последнего выражения вытекает, что энергия и масса тела всегда пропорциональны друг другу. Всякое изменение энергии тела   сопровождается изменением массы тела

и, наоборот, всякое изменение массы   сопровождается изменениемэнергии  . Это утверждение носит название закона взаимосвязи или закона пропорциональности массы и энергии.

Уравнение релятивистской динамики

     В ньютоновой механике обычная трехмерная 3-сила определяется как скорость изменения во времени количества движения, переносимого на данное тело от окружающих тел и полей (равенство   Ньютона является одновременно и определением силы, и законом движения). Аналогично поступим и в релятивистской механике, не забывая в то же время, что делить (множить) следует только на инвариантные величины.

     По определению 4-сила  - это скорость изменения 4-импульса, оцененная в течение собственного времени движущегося тела (точки; частицы), т.е.  . Подставляя значение 4-импульса, можно представить 4-силу в виде

     

     или

       =

     Подставив значение   и учтя явный вид компонент импульса   и  , получим величину

     

(8.4)

     Так выглядит 4-сила в системе I (в которой время t, скорость  ). Ниже структура   будет представлена в более компактном виде.

     Здесь возникает важный вопрос: если при скоростях значительно меньших скорости света (), т.е. в ньютоновой механике, сила определяется по второму закону Ньютона равенством  (индекс "н" указывает на ньютонову механику), то как следует обобщить понятие 3-силы на любые скорости, вплоть до как угодно близких к скорости света?

     Ответ на такие вопросы может давать только практика, эксперименты, опыт. Вся современная экспериментальная физика подтверждает, что под релятивистской 3-силой следует понимать величину, являющуюся производной от релятивистского 3 импульс

     

(8.5)

     Это равенство обобщает ньютонову трактовку 3-силы. В то же время оно представляет основной закон движения частицы (материальной точки) в инерциальной системе отсчета при любыхвозможных скоростях меньших с.

     Рассмотрим закон преобразования компонент 4-силы, представленных формулой (8.4). Учитывая (8.5), представим 4-силу в окончательном виде

     

(8.6)

     Как видим, в структуру 4-силы Минковского   входит релятивистская

     трехмерная сила   и ее мощность  .

     Рассмотрим дальше преобразование компонент 4-силы при переходе от ИСО I к ИСО П, которая движется со скоростью v относительно системы I в направлении оси х. При этом в системе I предполагается известным мгновенное значение скорости точки  (v_x,v_y,v_z) и сила  . Преобразование 4-силы позволит определить также и величину трехмерной силы в системе II. Как уже указывалось, преобразование компонент 3-векторов определяется на основе сначала преобразования 4-векторов (при переходе  ). Итак, нужно подвергнуть компоненты 4-силы  , т.е.

     

(8.7)

     преобразованиям Лоренца. Применяя их к (8.7), получим четыре формулы, дающие окончательный вариант преобразований

     

(8.8a)

     

(8.8b)

     Следовательно, при переходе от системы отсчет I к системе II проекции 3-силы   изменяются; они остаются неизменными в нерелятивистском случае, когда  . Первая из полученных формул определяет мощность силы в системе II, остальные три - проекции силы.

15) Релятивистское выражение для энергии

В релятивистской механике справедливым остается выражение

.                                                                                 

Это означает, что  . Откуда видно, что сила не является инвариантной величиной. Кроме того, сила F и ускорение a не коллениарны.

 

Легко получить выражение для кинетической энергии. Поскольку

dE_k = dA  и dE_k = v·p·dt, dA = F·ds

.                                                               

 

Отсюда следует, что E₀ = mc² является энергией покоя. Энергия и импульс в релятивистской механике не сохраняются. Инвариантом является выражение:

                                                                

Взаимосвязь массы и энергии. Границы применимости механики Ньютона.