2 Варіаційне формулювання крайової задачі

2.1 Вибір варіаційного принципу

Варіаційні принципи теорії пружності дозволяють звести проблему визначення напружено-деформованого стану тіла до задачі знаходження мінімуму того чи іншого функціоналу. На цьому базуються різноманітні прикладні методи розрахунку, за допомогою яких вдається отримати наближений розв’язок задачі, не інтегруючи систему диференціальних рівнянь теорії пружності. Варіаційні принципи є теоретичним фундаментом і методу скінченних елементів.

Як вже згадувалося, для розв’язання задачі теорії пружності в переміщеннях використовується принцип мінімуму варіаційної енергії Лагранжа.

В основі цього варіаційного принципу лежить принцип віртуальної роботи. Принцип віртуальної роботи (принцип можливих переміщень) стверджує, що робота зовнішніх сил на можливих переміщеннях ( ) рівна варіації потенціальної енергії деформації ( ).

, (2.1)

Це в свою чергу означає, що сума потенціалу зовнішніх сил і потенціальної енергії деформації при можливих переміщеннях ( та відповідно) рівна нулю, оскільки формально варіація потенціалу зовнішніх сил відрівняється від варіації роботи лише знаком . Таким чином

(2.2)

Величина

(2.3)

називається повною потенціальною енергією системи, а рівність

(2.4)

називається варіаційним рівнянням Лагранжа.

Рівняння Лагранжа стверджує, що в стані рівноваги повна енергія системи має стаціонарне значення.

Варіаційний принцип Лагранжа полягає в тому, що із всіх переміщень, що приймають задані значення на поверхні тіла, насправді мають місце ті, при яких повна енергія системи мінімальна.

Дійсно, якщо тіло, яке знаходиться в стані стійкої рівноваги, під дією якось зовнішньої сили дещо змінить свою форму, то після ліквідації цієї дії воно знову займе первинне положення. При поверненні у вихідне положення буде вчинена робота, тобто вивільниться деяка кількість потенціальної енергії. Значить, в сусідньому положенні тіло володіє більшою потенціальною енергією, ніж в положенні стійкої рівноваги.

2.2 Варіаційна постановка задачі.

Функціонал потенціальної енергії деформації складеного тривимірного тіла можна записати у вигляді

, (2.5)

де

, (2.6)

Відомо, що крайова задача (1.1), (1.4), (1.5), (1.6), (1.11) еквівалентна задачі мінімізації функціонала (2.6) на множині геометрично допустимих векторів , що задовольняють головні граничні умови (1.4′) та умови ідеального контакту (1.5).

Подамо задачу мінімізації функціонала (2.5) в дещо іншому записі. З цією метою введемо множину

(2.7)

і визначимо, що кожен вектор із задовольняє умови неперервності (1.5′) на межах контакту та головні крайові умови (1.4′).

З огляду на вирази (2.6), рівняння (1.1) та співвідношення (1.8) та (1.11) тепер можна сформулювати відповідну (1.1), (1.4), (1.5), (1.6), (1.11) задачу мінімізації у вигляді:

(2.8)

де

. (2.9)