1 Проверка наличия тренда

Процесс развития движения социально - экономических явлений во времени в статистике принято называть динамикой. Для отображения динамики строят ряды динамики.

Рядами динамики называются статистические данные, отображающие развитие изучаемого явления (показателя) во времени.

Важнейшим условием правильного построения ряда динамики являются сопоставимость всех входящих в него уровней; данное условие решается либо в процессе сбора и обработки данных, либо путем их пересчета.

Проблема сопоставимости данных особенно остро стоит в рядах динамики, потому что они могут охватывать значительные периоды времени, за которые могли произойти изменения, приводящие к несопоставимости статистических рядов.

На сопоставимость уровней ряда динамики непосредственно влияет методология учета или расчета показателей. Например, если в одни годы среднюю урожайность считали с засеянной площади, а в другие - с убранной, то такие уровни будут несопоставимы.

Первоначальные значения ряда динамики подвергаются самым разнообразным воздействиям. Выделяют его четыре основные компоненты: основную тенденцию (тренд) (Т), циклическую или конъюнктурную (К), сезонную (S), случайные колебания (Е). Если ряд динамики разбить на различные компоненты, то он представляется в следующем виде:

Y = f(T,K,S,E). (1)

Тренд (Т) – это долговременная компонента ряда динамики. Она характеризует основную тенденцию его развития, при этом остальные компоненты рассматриваются только как мешающие процедуре его определения. При наличии ряда наблюдаемых значений для различных моментов времени следует найти подходящую трендовую кривую, которая сгладила бы остальные колебания.

у_t = f_t+e_t. (2)

Циклические (или периодические) колебания состоят в том, что значение изучаемого признака в течение какого-то времени возрастает, достигает определенного максимума, затем понижается, достигает определенного минимума, вновь возрастает до прежнего значения. Иначе - циклические колебания можно схематически представить в виде синусоиды. Циклические колебания в экономических процессах примерно соответствуют так называемым циклам конъюнктуры. Сезонные колебания – это колебания, периодически повторяющиеся в некоторое определенное время каждого года, дня месяца или часа дня.

Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение основной тенденции развития, присущей тому или иному ряду динамики.

1.1 Метод Фостера – Стюарта

Прежде чем заняться подбором модели тренда исходного ряда динамики посещаемости фитнес - центра надо убедиться, что в ряду динамики эта тенденция присутствует. Для этого используем критерий Фостера - Стюарта.

Метод Фостера - Стюарта кроме определения наличия тенденции явления позволяет обнаружить тренд дисперсии уровней ряда динамики.

Расчет критерия состоит из следующих шагов.

Шаг 1.Сравнивается каждый уровень ряда со всеми предыдущими, при этом: если то Если то .

Шаг 2. Вычисляются значения величин и :

(3)

где

Анализируя формулу (3), нетрудно заметить, что величи­на может принимать значения , причем , когда все уровни ряда равны между собой, и , когда ряд динамики монотонно убывает или возрастает. Показатель ха­рактеризует тенденцию изменения дисперсии ряда динамики.

Показатель имеет нижний предел, равный ( ), и вер­хний - ( ).В первом случае ряд является монотонно убыва­ющим, во втором - монотонно возрастающим [1].

Шаг 3. Проверяется с использованием t – критерия Стьюдента гипотеза о том, можно ли считать случайными разности (S– ) и (d– 0):

(4)

где – среднее значение величины S, определенное для ряда, в котором уровни расположены случайным образом;

– стандартная ошибка величины S;

– стандартная ошибка величины d.

Значения величин , и затабулированы для различных n. Величины t_s и t_d имеют распределение Стьюдента c k=n-1 cтепенями свободы.

Шаг 4. Сравниваются расчетные значения t_s и t_d с табличными, найденными

по таблице критических точек распределения Стьюдента с k=n-1 cтепенями свободы и при заданном уровне значимости , что указано в [2-4].

Если t_s<t_табл и t_d<t_табл , то гипотеза об отсутствии тенденции в дисперсии и средней подтверждается, а следовательно, отсутствует тренд в ряду динамики.

При установлении наличия в ряду динамики тенденции переходят к ее моделированию.

Вспомогательные вычисления по методу Фостера – Стюарта представлены в таблице 1.

Таблица 1 - Вспомогательные вычисления по методу Фостера – Стюарта

Год	№ квартала	Исходные уровни, yt	U t	Lt	St	dt
2005	1	1	-	-	-	-
	2	2	1	0	1	1
	3	2	0	0	0	0
	4	2	0	0	0	0
2006	1	3	1	0	1	1
	2	2	0	0	0	0
	3	3	0	0	0	0
	4	3	0	0	0	0
2007	1	4	1	0	1	1
	2	4	0	0	0	0
	3	5	1	0	1	1
	4	6	1	0	1	1
2008	1	6	0	0	0	0
	2	6	0	0	0	0
	3	6	0	0	0	0
	4	7	1	0	1	1
2009	1	9	1	0	1	1
	2	9	0	0	0	0
	3	8	0	0	0	0
	4	10	1	0	1	1
2010	1	10	0	0	0	0
	Итого	-	-		8	8

По формуле (2) видно, что ; . Тогда по специальным статистическим таблицам необходимо вычислить, что = 5,29; = 1,7; = 2,3 при .

Тогда по формуле (3) t_s = 2,767; t_d = 2,609. Необходимо провести сравнение с табличным значением t_kp(0,05;20) = 2,086. Поскольку при t_s > t_kp и t_d > t_kp, есть основания отвергнуть нулевую гипотезу об отсутствии тенденции в средней и об отсутствии тенденции изменения в дисперсиях.

На уровне значимости устанавливается наличие тенденции (тренда) в динамике посещений Фитнес – Центра «К» возрастной группой старше 61 года.