3 Полиномиальная модель 3 степени

3.1 Для проверки модели надо найти модельные значения, подставив в подобранную модель y = -0,0005x³ + 0,0267x² + 0,0814x + 1,3317 , R² = 0,9646 вместо исходные значения времени (1,2,…,21) и найти разности ( ) между исходными (таблица 1) и модельными значениями уровней ряда динамики. Результаты расчета приведены в таблице 6. Полиномиальная модель 3 степени изображена на рисунке 2.

Таблица 6 - Исходные, модельные значения уровней и остатки ряда динамики

Год	№ квартала	Исходные уровни, yt	Модельные значения, уi	Остатки,	Ϭmed
2005	1	1	1,4393	-0,4393	-
	2	2	1,5973	0,4027	+
	3	2	1,8027	0,1973	+
	4	2	2,0525	-0,0525	-
2006	1	3	2,3437	0,6563	+
	2	2	2,6733	-0,6733	-
	3	3	3,0383	-0,0383	-
	4	3	3,4357	-0,4357	-
2007	1	4	3,8625	0,1375	+
	2	4	4,3157	-0,3157	-
	3	5	4,7923	0,2077	+
	4	6	5,2893	0,7107	+
2008	1	6	5,8037	0,1963	+
	2	6	6,3325	-0,3325	-
	3	6	6,8727	-0,8727	-
	4	7	7,4213	-0,4213	-
2009	1	9	7,9753	1,0247	+
	2	9	8,5317	0,4683	+
	3	8	9,0875	-1,0875	-
	4	10	9,6397	0,3603	+
2010	1	10	10,1853	-0,1853	-
	Итого	-	-	-0,4923

3.2 Для проверки случайности колебаний уровней остаточной последовательности используется критерий «серий», основанный на медиане выборки.

Для этого расположим уровни остаточной последовательности из таблицы 7 в порядке возрастания в вариационный ряд.

Таблица 7 - Уровни остаточной последовательности в порядке возрастания

Упорядоченные остатки	Упорядоченные остатки
-1,0875	0,1375
-0,8727	0,1963
-0,6733	0,1973
-0,4393	0,2077
-0,4357	0,3603
-0,4213	0,4027
-0,3325	0,4683
-0,3157	0,6563
-0,1853	0,7107
- 0,0525	1,0247
-0,0383	-

Находим в этом ряду медиану: = - 0,0383. Как видно из полученной последовательности общее число «серий» = 13; а протяженность самой длинной «серии» K_{max =}3_.

kmax : 3 < 7,66332

(11)

𝜈 : 13 > 6,61731

Следовательно, ряд динамики ε отклонений от тренда состоит из случайных величин.

3.3 Рассчитаем выборочные коэффициенты асимметрии А_В и эксцесса Э_В и их среднеквадратические ошибки. Данные для расчета указаны в таблице 8.

Таблица 8 - Данные для расчетов центральных моментов

-0,416	0,173	-0,072	0,030
0,426	0,181	0,077	0,033
0,220	0,0487	0,011	0,002
-0,029	0,001	-2,453	7,130
0,679	0,462	0,314	0,213
-0,650	0,422	-0,274	0,178
-0,015	0,000	-3,279	4,872
-0,412	0,170	-0,070	0,029
0,161	0,026	0,004	0,010
-0,292	0,085	-0,025	0,007
0,231	0,053	0,012	0,003
Продолжение таблицы 8
0,734	0,540	0,396	0,290
0,220	0,048	0,010	0,002
-0,309	0,095	-0,030	0,010
-0,849	0,721	-0,613	0,520
-0,398	0,158	-0,063	0,025
1,048	1,099	1,151	1,207
0,492	0,242	0,119	0,058
-1,064	1,132	-1,205	1,281
0,384	0,147	0,056	0,021
-0,162	0,026	-0,004	0,001
Итого	5,831	-0,203	3,913

εсред = - 0,023;

m2 = 0,2777 центральный момент второго порядка;

m3 = - 0,01 центральный момент третьего порядка;

m4 = 0,1864 центральный момент четвертого порядка;

Ав = - 0,0662 выборочный коэффициент асимметрии;

Эв = - 0,5834 выборочный коэффициент эксцесса;

ϬA = 0,46466 среднеквадратическая ошибка коэффициента асимметрии;

ϬЭ = 0,75546 среднеквадратическая ошибка коэффициента эксцесса.

| (12) Ав| = 0,0662 < 0,697,

|Эв+(6/(21+1))| = 0,3107 < 1,1332.

Так как система неравенств выполняется, то гипотеза о близости эмпирического распределения остатков ряда динамики к нормальному принимается.

3.4 Проверка независимости значений остаточной случайной последовательности, т.е. отсутствия существенной автокорреляции, осуществляется с помощью критерия Дарбина – Уотсона. Критерий Дарбина – Уотсона связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка, то есть автокорреляции между соседними остаточными членами ряда.

Таблица 9 - Данные для расчета критерия Дарбина – Уотсона

№
1	1,4393	-0,4393	-	-	-	0,19298449
Продолжение таблицы 9
№
2	1,5973	0,4027	-0,4393	0,842	0,708964	0,16216729
3	1,8027	0,1973	0,4027	-0,2054	0,042189	0,03892729
4	2,0525	-0,0525	0,1973	-0,2498	0,0624	0,00275625
5	2,3437	0,6563	-0,0525	0,7088	0,502397	0,43072969
6	2,6733	-0,6733	0,6563	-1,3296	1,767836	0,45333289
7	3,0383	-0,0383	-0,6733	0,635	0,403225	0,00146689
8	3,4357	-0,4357	-0,0383	-0,3974	0,157927	0,18983449
9	3,8625	0,1375	-0,4357	0,5732	0,328558	0,01890625
10	4,3157	-0,3157	0,1375	-0,4532	0,20539	0,09966649
11	4,7923	0,2077	-0,3157	0,5234	0,273948	0,04313929
12	5,2893	0,7107	0,2077	0,503	0,253009	0,50509449
13	5,8037	0,1963	0,7107	-0,5144	0,264607	0,03853369
14	6,3325	-0,3325	0,1963	-0,5288	0,279629	0,11055625
15	6,8727	-0,8727	-0,3325	-0,5402	0,291816	0,76160529
16	7,4213	-0,4213	-0,8727	0,4514	0,203762	0,17749369
17	7,9753	1,0247	-0,4213	1,446	2,090916	1,05001009
18	8,5317	0,4683	1,0247	-0,5564	0,309581	0,21930489
19	9,0875	-1,0875	0,4683	-1,5558	2,420514	1,18265625
20	9,6397	0,3603	-1,0875	1,4478	2,096125	0,12981609
21	10,1853	-0,1853	0,3603	-0,5456	0,297679	0,03433609
Итого	-	-	-	-	12,96047	5,84331813

При уровне значимости = 0,05 по таблицам значений критерия Дарбина - Уотсона можно определить при и (число факторов) критические значения d = 2,218; d . Получены следующие промежутки внутри интервала [0;4]. Ниже на рисунке 11 приведены данные для демонстрации работы критерия Дарбина – Уотсона.

0

2,58

4

2,78

Рисунок 11 – Данные для работы критерия Дарбина-Уотсона

Так как значение критерия попадает в зону, где автокорреляция отсутствует, то нет оснований отклонять нулевую гипотезу.

3.5 Используя полученные данные выявим ошибку аппроксимации с помощью формулы (13).

(13)

|А|=2,413703137

По результатам видно, что уровень ошибки низкий, а следовательно можно сделать вывод, что выбранный тренд является точным и отражает изменения показателей. Близость к нулю математического ожидания 0,526975974 указывает, что при заданной доверительной вероятности есть основания отвергнуть гипотезу о равенстве нулю математического ожидания случайной остаточной последовательности, распределенной по нормальному закону.

Модель полинома 2-ой степени адекватна по всем критериям исходным данным, что позволяет использовать ее для дальнейшего прогнозирования.