3.1.3. Общая характеристика законов распределения
Закон распределения случайной величины – всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Законы распределения могут быть заданы в табличной, графической и аналитической форме или в виде алгоритма.
Табличная форма задания закона распределения дискретной случайной величины называется рядом распределения
В ней перечислены возможные значения случайной величины ζ и соответствующие им вероятности р (табл. 3.1).
Таблица 3.1.
Ряд распределения случайной величины X
Графическая форма задания дискретной случайной величины называется многоугольником или полигоном распределения (рис. 3.1).
Рис.3.1 – Многоугольник распределения.
Многоугольники распределения могут иметь самую различную форму, однако все они обладают одним общим свойством: сумма ординат многоугольника распределения, представляющая собой сумму вероятностей всех возможных значений случайной величины, всегда равна единице.
Ряд и многоугольник распределения являются исчерпывающими характеристиками дискретной случайной величин.
Для количественного описания закона распределения непрерывной случайной величины используется вероятность события X < х, где х — некоторое значение переменной X. Эта вероятность зависит от х, то есть является некоторой функцией х, отсюда и название новой характеристики — функция распределения.
Функция распределения F (х) случайной величины X - вероятность выполнения неравенства X < х при различных значениях х, то есть
(3.4)
Часто функцию распределения называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
Функция распределения — общая форма описания случайной величины, полностью характеризующая ее с вероятностной точки зрения. Она может быть использована как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.
В гидрологических расчетах вместо функции распределения принято рассматривать функцию
(3.5)
Для отличия от функции распределения, обычно используемой в математической литературе, назовем эту функцию – функцией обеспеченности, а ее графическое изображение — кривой обеспеченности.
На рис. 3.2 представлен график функции распределения и обеспеченности.
Рис.3.2 График функции
обеспеченности (1) и распределения (2).
По известным функциям распределения или обеспеченности может быть установлена вероятность появления случайной величины в заданном интервале, полузамкнутом слева. Как следует из курса теории вероятностей, она равна разности значений функции распределения в концах интервала,
т. е.
(3.9)
Тогда из выражения (3.5) также следует, что
(3.10)
Часто событие, заключающееся в появлении случайной величины в интервале (α, β), называют попаданием случайной величины на заданный участок.
Плотность распределения - производная функции распределения вероятностей
(3.11)
в тех точках, где она существует.
Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения.
Рассмотрим непрерывную случайную величину X с плотностью вероятности f(x). Вероятность попадания случайной величины X на элементарный участок dx, примыкающий к точке X (рис. 3.3), с точностью до бесконечно малых высшего порядка равна f(x)dx. Величина f(x)dx называется элементом вероятности. Геометрически — это площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx (рис. 3.3).
Рис.3.3 Кривая распределения и элеэлемент вероятности.
Вероятность попадания значений х на отрезок от α до β, очевидно, будет равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т. е.
(3.14)
Геометрически вероятность попадания значений X на участок (α, β) равна площади под кривой распределения, опирающейся на этот участок (см. рис. 3.3).
Теперь выразим функцию распределения через плотность вероятности. По определению F(x) = р (X < х) = р (-∞ ≤X < х). Отсюда с учетом формулы (3.14)
(3.15)
Геометрически функция распределения, очевидно, есть площадь. кривой распределения, лежащая левее точки X.