3.1.6. Нормированная (стандартизованная) случайная величина

Нормированной случайной величиной называется переменная вида

(3. 52)

Если X существенно положительно (X ≥ 0) то, разделив чис­литель и знаменатель на т_х, получим

(3.53)

где k_i=x_i/m_x — модульный коэффициент.

Последовательность нормированных случайных величин обла­дает рядом замечательных свойств.

1. Математическое ожидание нормированной случайной вели­чины равно 0, т. е. m [t] = 0. Действительно

(3.54)

2. Дисперсия нормированной случайной величины равна еди­нице, т. е. D_t =1. Действительно

(3.55)

3. Если X — нормально распределенная случайная величина с параметрами т_х и σ², то нормированная случайная величина Т, представленное значениями t_i (i= 1,2, ..., N), также распределена нормально и имеет параметры 0 и 1.

3.3. Математическая статистика в геоэкологических исследованиях

3.3.1. Основные задачи математической статистики

Как отмечалось выше описания рассматриваемых процессов в геоэкологии, выводы и прогнозы о их возможных состояниях делаются на основе рядов наблюдений. В тоже время ряды наблюдений, как правило, ограничены во времени и освещают лишь какой то ограниченный период рассматриваемых процессов. Нам же необходимо на основе этих рядов, то есть, по сути, на основе имеющихся наблюдений, сделать выводы обо всем процессе.

Математическая статистика — наука, занимающаяся разработкой методов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах на основе данных наблюдений или экспериментов

Эти выводы относятся не только к имеющемуся ряду наблюдений или серии испытаний, а представляют утверждения об общих вероятностных характеристиках данного процесса, т. е. об его законе распределения и числовых характеристиках. Именно такое использование исходных данных является отличительной, чертой математической статистики.

При переходе от данных наблюдений или серии опытов, как. правило, ограниченных по объему, к характеристике всего процесса возникает ряд трудных задач. Наиболее типичными из них являются

1. Оценка неизвестной функции распределения рассматриваемого процесса на основе данных наблюдений.

Задача ставится так: за ограниченный период наблюдений в п лет получен ряд значений случайной величины X (x₁, х₂,…...., х_п). Требуется по этому ряду наблюдений (выборке) определить неизвестную функцию распределения F(x) случайной величины X:

2. Оценка неизвестных параметров распределения.

Известно, что случайная величина X имеет функцию распределения F(x), зависящую от k неизвестных параметров. Требуется на основании опытных данных, т. е. по ряду ограниченной продолжительности, определить значения этих параметров.

3. Статистическая проверка гипотез.

— предполагается, что функция распределения ряда X есть F_x (наша гипотеза). Спрашивается: совместимы ли наблюденные значения X (x₁, х₂, .. ., х_п) с этим предположением;

^___ предполагается, что значения параметров распределения генеральной совокупности имеют некоторые определенные значения (наша гипотеза). Не опровергают ли опытные данные эту гипотезу?

В основе применения математической статистики лежит ряд исходных понятий, без предварительного изучения которых невозможно использование современных методов обработки результатов наблюдений или опытных данных. Остановимся на некоторых из них.

В исследованиях окружающей среды анализ исходных данных производится таким образом, что в качестве репера, к которому привязываются результаты исследований, обычно выступает гене­ральная совокупность.