2.2 Решение матричной игры в смешанных стратегиях

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. a <b и , то поиск решения игры приводит к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более стратегий с определенными частотами.

Сложная стратегия, состоящая в случайном применении всех стратегий с определенными частотами, является смешанной.

В игре, матрица которой имеет размерность m ´ n, стратегии первого игрока задаются наборами вероятностей (x₁, x₂,..., x_m), с которыми игрок применяет свои чистые стратегии. Эти наборы можно рассмотреть как m-мерные векторы, для координат которых выполняются условия

, x_i ³ 0, .

Аналогично для второго игрока наборы вероятностей определяют n-мерные векторы (y₁, y₂,..., y_n), для координат которых выполняются условия

= 1, y_j ³ 0, .

Выигрыш первого игрока при использовании смешанных стратегий определяют как математическое ожидание выигрыша, т.е. он равен

.

Согласно теории Неймана, каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий. Применение оптимальной стратегии позволяет получить выигрыш, равный цене игры: a £ v £ b. Применение первым игроком оптимальной стратегии _опт должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры. Поэтому выполняется соотношение

, .

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия _опт должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры, т.е. справедливо соотношение

, .

Если платежная матрица не содержит седловой точки, то задача определения смешанной стратегии тем сложнее, чем больше размерность матрицы. Поэтому матрицы большой размерности целесообразно упростить, уменьшив их размерность путем вычеркивания дублирующих (одинаковых) и не доминирующих стратегий. Дублирующие стратегии – это стратегии, у которых соответствующие элементы платежной матрицы одинаковы.

Если все элементы i-й строки платежной матрицы больше соответствующих элементов k-й строки, то i-я стратегия игрока А будет доминирующей над k-й стратегией. Если все элементы j-го столбца платежной матрицы меньше соответствующих элементов k-го столбца, то j-я стратегия игрока В является доминирующей над k-й стратегией.

2.3 Решение игр графическим методом

Графический метод применим к играм, в которых хотя бы один игрок имеет только две стратегии.

Первый случай. Игра (2 ´ 2) с матрицей без седловой точки.

Решением игры являются смешанные стратегии игроков (x₁, x₂) и (y₁, y₂), где x₁ - вероятность применения первым игроком первой стратегии, x₂ - вероятность применения первым игроком второй стратегии, y₁ - вероятность применения вторым игроком первой стратегии, y₂ - вероятность применения вторым игроком второй стратегии. Очевидно, что

x₁ + x₂ = 1, y₁ + y₂ = 1.

Найдем решение игры графическим методом. На оси ОX отложим отрезок, длина которого равна единице. Левый конец (x = 0) соответствует стратегии первого игрока А₁, правый (x = 1) - стратегии А₂. Внутренние точки отрезка будут соответствовать смешанным стратегиям (x₁, x₂) первого игрока, где x₁ =1 - x₂. Через концы отрезка проведем прямые, перпендикулярные оси ОX, на которых будем откладывать выигрыш при соответствующих чистых стратегиях. Если игрок В применяет стратегию В₁, то выигрыш при использовании первым игроком стратегий А₁ и А₂ составит соответственно а₁₁ и а₂₁. Отложим эти точки на прямых и соединим их отрезком В₁В₁. Если игрок А применяет смешанную стратегию, то выигрышу соответствует некоторая точка М, лежащая на этом отрезке. (см. рис.1)

Рис.1. Стратегии игрока А

Аналогично строится отрезок В₂В₂, соответствующий стратегии В₂ игрока В.

Ломаная линия, составленная из частей отрезков, интерпретирующих стратегии игрока В, расположенная ниже всех отрезков, является нижней границей выигрыша, получаемого игроком А.

Стратегии, части которых образуют нижнюю границу выигрыша, будут активными стратегиями.

В игре (2 ´ 2) обе стратегии являются активными.

Рис.2. Стратегии игроков А и В

Ломаная В₁NВ₂ является нижней границей выигрыша, получаемого игроком А. (см. рис.2) Точка N, в которой он максимален, определяет цену игры и ее решение. Найдем оптимальную стратегию первого игрока. Запишем систему уравнений

Приравнивая выражения для v из уравнений системы и учитывая, что

x₁ + x₂ = 1, получим

, , (1)

. (2)

Составляя аналогичную систему

и учитывая условие

y₁ + y₂ = 1,

можно найти оптимальную стратегию игрока В:

. (3)

Второй случай. Игра (2 ´ n) с матрицей

.

Для каждой из n стратегий игрока В строится соответствующий ей отрезок на плоскости. Находится нижняя граница выигрыша, получаемого игроком А, и определяется точка на нижней границе, соответствующая наибольшему выигрышу. Выделяются две активные стратегии игрока В, отрезки которых проходят через данную точку. Далее рассматриваются только эти две стратегии игрока В. Игра сводится к игре с матрицей (2 ´ 2). Оптимальные стратегии и цену игры находят по формулам (1) - (3).

Третий случай. Рассмотрим игру (m ´ 2) с матрицей

.

Решение игры может быть получено аналогично случаю два. Для каждой из m стратегий игрока А строится соответствующий ей отрезок на плоскости.

Находится верхняя граница проигрыша, получаемого игроком В, и определяется точка на нижней границе, соответствующая наименьшему проигрышу. Выделяются две активные стратегии игрока А, отрезки которых проходят через данную точку.

Далее рассматриваются только эти две стратегии игрока А. Игра сводится к игре с матрицей (2 ´ 2). Оптимальные стратегии и цену игры находят по формулам (1) - (3).