Глава 3. Практическое применение теории игр в задачах экономико-математического моделирования

3.1 Практическое решение матричной игры в смешанных стратегиях с доминированием

Два конкурирующих предприятия, выпускающих стиральные машины,

имеют следующие доли общего сбыта своей продукции на местном рынке: 53% предприятие 1 и 47% - предприятие 2.

Оба предприятия пытаются увеличить объем своих продаж. Для этого у них имеются следующие альтернативы:

• a₁ (b₁) - расширить сеть сбыта,

• a₂ (b₂) - увеличить затраты на рекламу своей продукции,

• a₃ (b3) - расширить ассортимент (число моделей стиральных машин),

• a₄ (b₄) - ничего не предпринимать.

Анализ показал, что при осуществлении обоими предприятиями указанных мероприятий доля (в %) предприятия на рынке стиральных машин изменится следующим образом:

Требуется сформулировать данную ситуацию в виде игры и определить оптимальные смешанные стратегии обоих предприятий. Можно заметить, что для обоих предприятий есть доминирующие стратегии. Значит можно исключить некоторые стратегии. Так, для предприятия А можно исключить стратегию а_4, для предприятия В – это стратегия b_4.

Известно, что для решения игр смешанных стратегий используются вероятности принятии каждой стратегии игроками. Так как эти вероятности не известны, в Excel можно сформулировать целевые функции, ограничения и с помощью поиска решений найти недостающие данные.

Так, целевые функции будут:

и для I и II соответственно.

А ограничения составят:

Цена игры в таком случае будет . А вероятности применения стратегий составят:

Так как в матрице присутствуют элементы, которые меньше 0, прибавим некоторое число, чтобы получились неотрицательные элементы матрицы. Пусть это будет 6.

В результате получим,

Таким образом, цена игры составила -2,2. Предприятие 1 при многократном повторении игры должно использовать с вероятностью 0,4 стратегию а₁ (расширять сеть сбыта), с вероятностью 0,6 – стратегию a₂ - (расширение рекламной деятельности), а стратегии a₃ (увеличить ассортимент) и a₄ (ничего не предпринимать) не использовать вовсе. При этом доля сбыта предприятия на рынке уменьшится на 2,2%.

В свою очередь, оптимальная смешанная стратегия предприятия 2 заключается в том, чтобы с вероятностью 0,4 использовать стратегию b₁ (расширить сеть сбыта), и с вероятностью 0,6 – стратегию b₃ - (расширение ассортимента). Стратегии b₂ (расширение рекламной деятельности) и b₄ (ничего не предпринимать) не должны применяться. При этом доля сбыта предприятия 2 на рынке увеличится на 2,2%.

Казалось бы, поскольку даже в результате проведения своих мероприятий предприятие 1 “теряет рынок”, ему не следует ничего предпринимать, однако в этом случае оно потеряет еще больше (в соответствии со стратегией a₄) из-за действий предприятия 2, которому они выгодны.

3.2 Практическое решение игры с природой по различным критериям

Задача 1. Возможно строительство четырех типов электростанций: А₁ (тепловых), А₂ (приплотинных), А₃ (бесшлюзовых), А₄ (шлюзовых). Состояния природы выражаются через Р₁, Р₂, Р₃, Р₄. Экономическая эффективность строительства отдельных типов электростанций изменяется в зависимости от состояния природы и задана матрицей

.

1) Согласно критерию Вальда:

,

следует строить бесшлюзовую электростанцию.

2) огласно критерию Сэвиджа матрица рисков будет:

.

В результате оптимальная стратегия будет:

.

В соответствии с этим критерием также предлагается строить бесшлюзовую электростанцию.

3) Воспользуемся критерием Гурвица. Положим a=1/2.

,

т.е. следует принять решение о строительстве приплотинной электростанции.

4) Если принять известным распределение вероятностей для различных состояний природы, например считать эти состояния равновероятностными (р₁=р₂=р₃=р₄=1/4), то для принятия решения следует найти математические ожидания выигрыша:

,

,

,

.

Так как максимальное значение имеет М₃, то следует строить бесшлюзовую электростанцию.

Задача 2. Предприятие легкой промышленности, занимающееся выпуском женских вечерних платьев и мужских костюмов, реализует свою продукцию через фирменный магазин. Сбыт продукции зависит от состояния погоды. По данным прошлых наблюдений предприятие в течение апреля — мая в условиях теплой погоды может реализовать 600 костюмов и 1975 платьев, а при прохладной погоде — 1000 костюмов и 625 платьев. Известно, что затраты на единицу продукции в течение указанных месяцев составили для костюмов 27 у.е., для платьев 8 у.е., а цена реализации равна соответственно 48 у.е. и 16 у.е.

Задача заключается в максимизации средней величины прибыли от реализации выпущенной продукции с учетом неопределенности погоды в рассматриваемые месяцы. Таким образом, служба маркетинга предприятия должна в этих условиях определить оптимальную стратегию предприятия, обеспечивающую при любой погоде определенный средний доход.

Предприятие располагает в этих условиях двумя чистыми стратегиями: стратегия А — в расчете на теплую погоду и стратегия Б — в расчете на холодную погоду. Природа рассматривается как второй игрок также с двумя стратегиями: прохладная погода (стратегия В) и теплая погода (стратегия Г). Если предприятие выберет стратегию А, то в случае прохладной погоды (стратегия природы В) доход составит

600*(48 - 27) + 625*(16 - 8) - (1975 - 625)*8 = 6 800 у.е.,

а в случае теплой погоды (стратегия природы Г) доход будет равен

600*(48 - 27) + 1 975*(16 - 8) = 28 400 у.е.

Если предприятие выберет стратегию Б, то реализация продукции в условиях прохладной погоды даст доход

1 000*(48 - 27) + 625*(16 - 8) = 26 000 у.е.,

а в условиях теплой погоды

600*(48 - 27) + 625*(16 - 8) - (1 000 - 600)*27 = 6 800 у.е.

Следовательно, матрица данной игры (платежная матрица) имеет вид:

Первая и вторая строки этой матрицы соответствуют стратегиям А и Б предприятия, а первый и второй столбцы — стратегиям В и Г природы.

По платежной матрице видно, что первый игрок (предприятие) никогда не получит доход меньше 6800 у.е. Но если погодные условия совпадают с выбранной стратегией, то выручка (выигрыш) составит 26 000 или 28 400 у.е. Отсюда можно сделать вывод, что в условиях неопределенности погоды наибольший гарантированный доход предприятие обеспечит, если будет попеременно применять то стратегию А, то стратегию Б. Такая стратегия, как отмечалось выше, называется смешанной. Оптимизация смешанной стратегии позволит первому игроку всегда получать среднее значение выигрыша независимо от стратегии второго игрока.

Пусть х означает частоту применения первым игроком стратегии А, тогда частота применения им стратегии Б равна (1 - х). В случае оптимальной смешанной стратегии первый игрок (предприятие) получит и при стратегии В (холодная погода), и при стратегии Г (теплая погода) второго игрока одинаковый средний доход:

6800* + 26 000*(1 - х) = 28 400* + 6800*(1 - х).

Отсюда можно найти, что х = 8/17; 1 - х = 9/17. Следовательно, первый игрок, применяя чистые стратегии А и Б в соотношении 8:9, будет иметь оптимальную смешанную стратегию, обеспечивающую ему в любом случае средний доход в сумме 6800 - (8/17) + 26000 - (9/17 * 16965) у.е. – эта величина и будет в данном случае ценой игры.

Легко рассчитать, какое количество костюмов и платьев должно выпускать предприятие при оптимальной стратегии:

(600 костюмов + 1975 платьев) - 8/17 + (1000 костюмов +625 платьев)* *9/17 = 812 костюмов + 1260 платьев. Следовательно, оптимальная стратегия предприятия заключается в выпуске 812 костюмов и 1260 платьев, что обеспечит ему при любой погоде средний доход в сумме 16 965 у.е.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В условиях альтернативы (выбора) очень часто нелегко принять решение и выбрать ту или иную стратегию. Исследование операций позволяет с помощью использования соответствующих математических методов принять обоснованное решение о целесообразности той или иной стратегии.

На практике были решены задачи выбора оптимальной стратегии поведения на рынке и последствия принятия той или иной стратегии. Также рассмотрен пример выбора типа электростанций.

Так, рассмотренные задачи теории игр позволяют решить актуальные задачи:

• как сделать так, чтобы природа работала на тебя, а не ты на неё;

• как получить набольшую выгоду или учет твоих интересов конкурентом, или поставщиком;

• какой товар лучше производить и т.д.

Таким образом, теория игр, имеющая в запасе арсенал методов решения матричных игр, позволяет эффективно решать указанные задачи несколькими методами и из их множества выбрать наиболее эффективные, а также упрощать исходные матрицы игр.

экономический математический матричный игра

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Берзин, Е. А. Оптимальное распределение ресурсов и теория игр / Под ред. Е. В. Золотова. - М. : Радио и связь, 1983. - 215 с.

2. Блекуэлл, Д. Теория игр и статистических решений / Пер. с англ. И. В. Соловьева. Под ред. Б. А. Севастьянова. С предисл. А. А. Ляпунова. - М. : Изд. иностр. лит., 1958. - 374 с Васин А.А., Морозов В.В. Введение в теорию игр с приложениями к экономике. – М., 2005. - 271 с.

3. Воробьев, Н. Н. Теория игр / Н. Н. Воробьев, д-р физ.-мат. наук. - М. : Знание, 1976. - 64 с.

4. Вильямс, Дж. Д. Совершенный стратег, или Букварь по теории стратегических игр / Дж. Д. Вильямс. - Изд. 2-е. - Москва : URSS : Либроком, 2009. - 268, [1] с.

5. Гамецкий, А. Ф. Теория игр, исследование операций : (Учеб. пособие) / Гамецкий А. Ф., Слободенюк В. А., Спиридонова В. - Кишинев : КГУ, 1987. - 84, [1] с.

6. Горелов, М. А. Информационные аспекты принятия решений в условиях конфликта. - М. : ВЦ РАН, 1994. - 42 с.

7. Громенко, В. М. Теория игр и ее приложение к управлению : Учеб. пособие для студентов спец. «Экон. кибернетика» - М. : МИУ, 1979. - 75 с.

8. Дежурко, Л. Ф. Элементы теории игр. Стратегические игры : Метод. рекомендации : Для студентов экон. спец. / Белорус. гос. экон. ун-т. - Мн. : БГЭУ, 1995. - 43 с.

9. Dutta, P. K. Strategies and games : Theory and practice / Prajit K.Dutta. - Cambridge (Massachusetts); London : The MIT Press, 1999. - 385 р.

10. Жуковский, В. И. Кооперативные игры при неопределенности и их приложения / В.И.Жуковский. - М. : Эдиториал УРСС, 1999. - 334 с.

11. Кузнецова А.В. Экономико-математические методы и модели. – Мн: БГЭУ, 2000. с. 57-96.

12. Лагунов, В. Н. Игры преследования и введение в теорию игр / Твер. гос. ун-т. - Тверь : ТГУ, 1993. - 146 с.

13. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение.- М., Наука, 1970 - 707 с.

14. Новыш, Б. В. Математические основы теории принятия решений: практикум / Б. В. Новыш, О. Б. Плющ, В. К. Шешолко. - Минск: Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2007. - 123 с.

15. Стрекаловский, А. С. Биматричные игры и билинейное программирование / А. С. Стрекаловский, А. В. Орлов. - Москва : Физматлит, 2007. - 223 с.

Размещено на Allbest.ru