4 Методы оценки качества регулирования линейных систем

4.1. Общие положения

При исследовании систем автоматического регулирования приходится решать задачу обеспечения требуемых показателей качества переходного процесса: быстродействия, колебательности, перерегулирования, характеризующих точность и плавность протекания процесса. Будем, как и в предыдущих главах, предполагать, что система автоматического регулирования описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При изменении воздействия g(t) на входе системы (рис. 4.1) выходную величину x(t) можно записать

, (4.1)

где x(t) — решение дифференциального уравнения, описывающего систему; — общее решение, соответствующее однородному дифференциальному уравнению. Если последнее не имеет кратных корней, то

, (4.2)

где — постоянная интегрирования, величину которой определяют параметры системы и начальные условия; — корни характеристического уравнения замкнутой системы D(s) = 0; — вынужденная составляющая переходного процесса, обусловленная законом изменения g(t).

Рис. 4.1

Из (4.1) видно, что качество переходного процесса можно оценить по его составляющим и . В этом смысле различают две группы показателей: первая группа — показатели качества переходного процесса ; вторая — показатели, характеризующие вынужденную (установившуюся) составляющую , по которой определяют точность системы.

Показатели качества, определяемые непосредственно по кривой переходного процесса, называют прямыми оценками качества. Кривая переходного процесса может быть получена теоретически или экспериментально. Но чаще всего это бывает связано с большими трудностями, так как расчет переходного процесса в системах высокого порядка сложен, а эксперимент не всегда осуществим. Поэтому используют косвенные оценки качества, полученные иным путем, не требующим нахождения кривой переходного процесса. Существующие косвенные методы оценки качества регулирования в линейных непрерывных системах можно разделить на три группы: корневые, интегральные и частотные.

4.2. Оценка качества переходного процесса при воздействии ступенчатой функции

Переходный процесс в системе является ее реакций на внешнее воздействие, которое в общем случае может быть сложной функцией времени. Обычно рассматривают поведение системы при следующих типовых воздействиях: единичной ступенчатой функции 1( t ), импульсной и гармонической функций. Чаще всего прямые оценки качества получают по кривой переходной характеристики h(t), т. е. при воздействии единичной ступенчатой функции:

и нулевых начальных условиях.

Эта характеристика может быть построена для выходной величины или для отклонения (рис.4.2 и 4.3).

Рис. 4.2	Рис. 4.3

 

К прямым оценкам качества относят:

1. Время регулирования — минимальное время, по истечении которого регулируемая величина будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью

(4.3)

или , где - постоянная величина, значение которой нужно оговаривать. Задается величина в процентах от установившегося значения выходной величины .

2. Перерегулирование — максимальное отклонение переходной характеристики от установившегося значения выходной величины, выраженное в относительных единицах или процентах

,

где - значение первого максимума, или

.

Допустимое значение перерегулирования в каждом конкретном случае будет подсказано опытом эксплуатации системы, обычно , но в некоторых случаях допускается и до 70%. Иногда перерегулирование недопустимо совсем.

3. Частоту колебаний , где Т — период колебаний для колебательных переходных характеристик.

4. Число колебаний n , которое имеет переходная характеристика h(t ) или за время регулирования . При проектировании систем чаще всего допускают , а иногда и до , но в некоторых случаях колебания в системе недопустимы.

5. Время достижения первого максимума .

6. Время нарастания переходного процесса — абсцисса первой точки пересечения кривой переходной характеристики h(t) с уровнем установившегося значения или кривой отклонения с осью абсцисс.

7. Декремент затухания , равный отношению модулей двух смежных перерегулирований

.

Перечисленные показатели качества могут быть дополнены другими, но это обусловлено спецификой конкретной системы. Определение приведенных выше прямых оценок качества переходного процесса проиллюстрировано на рис. 4.2 и 4.3.

Переходные процессы, возникающие в системах при скачкообразных воздействиях, принято делить на три группы: монотонные, апериодические и колебательные. У монотонных процессов первая производная выходной величины не меняет знак (кривая а на рис. 4.4), у апериодических знак производной меняется не более одного раза (кривая б на рис. 4.4), а у колебательных — первая производная меняет свой знак периодически (теоретически бесконечное число раз) (кривая в на рис. 4.4).

Нужно отметить, что в настоящее время при бурном развитии вычислительной техники трудности, связанные с расчетом переходных процессов и выбором возможных вариаций параметров системы, существенно уменьшаются, поэтому роль прямых оценок качества при проектировании систем автоматического регулирования возрастает.