4.3. Оценка качества регулирования при гармонических воздействиях

При гармонических воздействиях качество системы принято оценивать по амплитудно-фазовой, амплитудно-частотной, фазо – частотной и логарифмическим частотным характеристикам.

Для оценки качества переходного процесса системы можно использовать следующие величины: показатель колебательности М, резонансная (собственная) частота , полоса пропускания системы , частота среза , запасы устойчивости по модулю и по фазе.

Показатель колебательности М — это отношение максимального значения амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы к ее значению при (рис. 4.5)

, (4.4)

при .

Рис. 4.5

Показатель колебательности характеризует склонность системы к колебаниям. Чем выше М, тем менее качественна система при прочих равных условиях.

Частоту , при которой амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы имеет максимум, называют резонансной частотой системы (рис. 4.5), т. е. на этой частоте гармонические колебания проходят через систему с наибольшим усилением.

Полоса пропускания системы (рис. 4.6) — это интервал частот от до , при которой выполняется условие

, (4.5)

или при величина . Полоса пропускания не должна быть слишком широкой, иначе система будет воспроизводить высокочастотные помехи.

Рис. 4.6

Частота среза — частота, при которой амплитудно-частотная характеристика системы принимает значение, равное 1, т.е. . Эта частота косвенно характеризует длительность переходного процесса. Чем меньше частота среза, тем хуже быстродействие системы

, (4.6)

если переходной процесс имеет одно-два колебания, то время достижения переходной характеристикой первого максимума

. (4.7)

Склонность системы к колебаниям характеризуется величинами ее запасов устойчивости по модулю и по фазе. Запасы устойчивости рассчитывают по амплитудно-фазовым и логарифмическим частотным характеристикам . В хорошо демпфированных системах запас устойчивости по амплитуде колеблется в пределах от 6 до 20 дБ, а запас по фазе — от 30 до 60°.

Так как рассмотренные выше показатели косвенно определяют быстродействие, перерегулирование и т.п., то они могут быть использованы и для расчета систем, находящихся под воздействием непериодических возмущений.

4.4. Оценка качества регулирования в установившемся режиме (коэффициенты ошибок)

Рассмотрим показатели качества, характеризующие вынужденную составляющую ошибки системы. Если на входе системы (рис. 4.1) действует сигнал g(t), то установившаяся ошибка регулирования системы , где — вынужденная составляющая регулируемой величины (4.1).

Если g(t) дифференцируема во всем интервале , то ошибка системы может быть представлена в виде ряда

, (4.8)

где коэффициенты принято называть коэффициентами ошибок. Формула (4.8) получена следующим образом. Передаточная функция замкнутой системы относительно ошибки (рис. 4.1)

. (4.9)

Из (4.9) можно найти выражение для изображения ошибки

(4.10)

Разложим передаточную функцию по ошибке в ряд по возрастающим степеням s в окрестности точки s = 0, что соответствует большим значениям времени , т.е. установившемуся значению ошибки при заданном управляющем воздействии. В соответствии с (4.10) можно записать

. (4.11)

Если передаточная функция является дробно-рациональной функцией

,

то разложение в ряд можно осуществить делением числителя на знаменатель, располагая члены полинома в порядке возрастания степеней. Переходя в (4.11) от изображений к оригиналам, можно получить для выражение (4.8).

Коэффициенты ошибок определяют по формулам разложения функции в ряд Тейлора

(4.12)

Если , то все производные =0, и тогда , а .

При этом — установившееся значение ошибки в замкнутой системе.

Если , то , а ; коэффициенты ), , и т.д.

Коэффициент принято называть коэффициентом статической или позиционной ошибки; коэффициент — коэффициентом скоростной ошибки; — коэффициентом ошибки от ускорения.

В статических системах коэффициент отличен от нуля. В системах с астатизмом первого порядка , . В системах с астатизмом второго порядка , . Увеличение числа интегрирующих звеньев в системе приводит к нулевым значениям нескольких коэффициентов ошибок, но при этом усложняется обеспечение устойчивости системы.

Если задающее воздействие имеет ограниченное число производных, отличных от нуля, то ряд (4.8) имеет ограниченное число членов. Метод коэффициентов ошибок применяется при сравнительно медленно меняющихся воздействиях.