Тема 2. Однофазные электрические цепи синусоидального тока.

Порядок решения задач рассматривается на примере цепи, изображенной на рис. 10, в которой R₁=2, R₂ = 6, R₃ = 4 Оm; х_С1=3 Ом, x_L2 = 7 Ом, x_L3=15 0m; x_C3 = 10Om.

Рис. 10. Заданная цепь

ЗАДАЧА 1. Составление уравнений на основании законов Кирхгофа.

1. Дифференциальная форма. Учитывая, что напряжение на активном

сопротивлении u_R=iR, на индуктивности на емкости

и выбирая направление обхода контуров совпадающим с направлением движения часовой стрелки (рис. 10), имеем

a) i₁ – i_2­ + i₃=0;

2. Символическая форма. В уравнениях индуктивное сопротивление (+jx_L), а емкостное (-jx_c):

a) I₁ - I₂ + I₃ = 0;

A) I₁(R₁ –jx_C1) + I₂(R₂+jx_L2) = E₁;

B) –I₂(R₂ + jx_L2) – I₃( R₃ + jx_L3 - jx_C3) = - E_3.

ЗАДАЧА 2. Расчет цепи синусоидального тока методом контурных токов.

При решении задач пользуются двумя формами записи комплексных чисел - показательной и алгебраической:

A=Aexp(j φ) = А₁ +jA₂, где A₁ = A cosφ; A₂= A sinφ;

Составляем уравнения:

Определяем комплексное значение ЭДС e₁.

где Е_1т - максимальное значение ЭДС e₁, Е_1m= 51,86 В: ψ_E1 - начальная фаза ЭДС e₁, ψ_E1 = 25,87 ;

Подставляем числовые данные в систему уравнений:

I_A(8+j4) – I_B(6+j7)=33+j16;

-I_A(6+j7)+I_B+(10+j12)=-(48+j13).

Находим контурные токи методом определителей Крамера:

Перемножая комплексные числа в числителе и знаменателе последней дроби и приводя подобные члены, получим (учтем, что j² = -I)

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число знаменателя:

Аналогично определяем ток I_B:

Реальные токи ветвей вычисляем по контурным:

I­₁=I_A=I +j2 = 2,236ехр(j63,5⁰) А;

I₂=I_A - I_B = (I +j2) - (-2 +j3) = 3 – j1= 3,162exp(-j18,4°) A;

I₃=-I_B=2 -j3 = 3,606exp(-j56,3°) A.

ЗАДАЧА 3. Расчет цепи синусоидального тока методом узловых потенциалов.

Примем потенциал точки в (рис. 10) Ф_в = 0, тогда для узла а имеем

или с числовыми данными

Произведя деление в каждой дроби, получим

Ф_a(0,154 + j0,231 + 0,07 - j0,082 + 0,098 - j0,122) =

= 1,385 + j10,077 + 6,27 - j4,585.

Отсюда

Токи ветвей определяем по обобщенному закону Ома

ЗАДАЧА 4. Расчет и построение топографической диаграммы, совмещенной с векторной диаграммой токов.

Топографической диаграммой называют векторную диаграмму напряжений построенную так, что каждой точке электрической цепи соответствует точка на комплексной плоскости. Векторы напряжений на диаграмме противоположны стрелкам (направлению) тех же напряжений в электрической цепи по отношению к обозначенным точкам. Построение топографической диаграммы можно производить двумя способами: либо вначале вычислить потенциалы точек цепи в комплексной форме и затем отложить их на комплексной плоскости, либо вычислить модули напряжений на отдельных элементах цепи, нанести на комплексной плоскости векторы токов и далее построить топографическую диаграмму, пользуясь известными правилами: на активном сопротивлении векторы напряжения и тока совпадают по фазе, на индуктивном - вектор напряжений опережает вектор тока на 90 °, а на емкостном - вектор напряжения отстает от вектора тока на 90 °.

По первому способу

Ф_в = 0; Ф_с = Ф_в + E₁ = 33 + j16 В;

Ф_d = Ф_c – I₁R₁ = 33 +j16 – (I +j2)2 = 31 +j12 В;

Ф_a = Ф_d – I₁(-jx_cl) = 31 + j12 – (I + j2)(-j3) = 25 + j15 B;

Ф_m = Ф_в + I₂ R₂ = (3-jl)6=18 – j6B;

Ф_e = Ф_a + I­₃ jx_L3 = 25 + j15 + (2 - j3)j15 = 70 + j45 B;

Ф_f = Ф_e + I₃R₃ = 70 + j45 + (2 - j3)4= 78 + jЗЗ В;

Ф_n = Ф_f – I₃(-jx_C3)= 78 + j-ЗЗ + (2 – j3)(-j10) = 48 + j13 В.

Выбираем масштабы по току m_i , и по напряжению m_u , откладываем векторы токов и потенциалов и, пользуясь приведенными правилами, наносим направления векторов напряжений на отдельных участках цепи (рис. 11).

Рис. 11. Топографическая диаграмма (m_i= 0,5 А/см; т_и = 10 В/см)

По второму способу

U_cd = I₁R₁ = 2,236∙2 = 4,47 В;

U_da = I₁x_C1= 2,236∙3= 6,7 В;

U_mв =I₂R₂= 3,162∙6= 18,97 В;

U_am = I₂ x_L2 = 3,162∙7 = 22,13 В;

U_nf=I₃x_C3 = 3,606∙10=36,1 B;

U_fe=I₃R₃= 3,606∙4 = 14,4 B;

U_ea =I₃x_L3 = 3,606∙15 = 54,l B.

Строим в масштабе на комплексной плоскости векторы токов.

Вектор напряжения U_mв совпадает с вектором тока I₂ (на активном

сопротивлении). Откладывая отрезок по

направлению тока I₂, получаем точку т. Из точки т перпендикулярно к току I₂ в сторону опережения (на индуктивности L₂) откладываем отрезок

Получаем точку а. Для определения местоположения точки d из точки а под углом 90⁰ к току I₁ в сторону отставания (на участке ad емкость) проводим

линию и на ней отмечаем отрезок . На участке dc цепи включено активное сопротивление R₁ , следовательно, вектор dc параллелен вектору тока I₁. Продолжая аналогичные построения для каждого участка цепи получаем диаграмму (рис. 11).

ЗАДАЧА 5. Расчет баланса активной и реактивной мощностей цепи синусоидального тока.

Баланс мощностей может быть составлен двумя способами: с применением и без применения комплексного метода. Ы По первому способу определяют сумму комплексных мощностей

источников и сумму комплексных мощностей приемников, включенных в ветви цепи. Мощность источников

S_u=E₁ I₁* + E₃I₃*

Здесь I₁* и I₃* - сопряженные комплексы токам I₁ и I₃ соответственно;

S_u = (33 +j16 (I-j2) + (48 +j13)(2 +j3) = 122 +j120 вар.

Мощность приемников

S_пр ⁼I₁²Z₁+ I₂²Z₂ + I₃²Z_3,

где Z₁=R₁ – jx­_C1; Z₂=R₂+jx_L2; Z₃=R₃+jx_L3 – jx_C3;

I₁, I₂, I₃ - действующие значения токов;

S_пр = I₁²(R₁ – jx_Сl) + I₂²(R₂ +jx_L2) + I₃²(R₃ +jx_L3 – jx_С3);

S_пр=2,236²(2 -j3) + 3,162²(6 +j7) + 3,606²(4 +j15 -j10) = 122 +j120 B∙A.

Отсюда P_пр = 122 Вт; Q_np = 120 вар.

По второму способу считают отдельно активные и реактивные мощности. Активная мощность источников

Р_и = E₁I₁cosφ₁ + E₃I₃cosφ₃.

Здесь φ₁ - угол сдвига фаз между E₁ и I₁ ;

Φ₁ = ψ_el - φ_il = 25,87 ° - 63,5 ° = -37,63 °;

φ₃ - угол сдвига фаз между Е₃ и I₃;

φ₃=ψ_e3 – φ_i3= 15,1⁰ – (-56,3⁰)= 71,4⁰;

Р_и = 36,67∙2,236∙cos(-37,63°) + 49,73∙3,606∙cos71,4° = 122,13 Вт.

Реактивная мощность источников

Q_u = E₁ I₁ sinφ₁ + E₃ I₃ sinφ₃;

Q_u = 36,67·2,236sin(-37,63°) + 49,73·3,606·sin71,4° = 119,9 вар.

Активная мощность приемников

P_пр=I₁²R₁ + I₂²R₂ + I₃²R₃;

Р_пр = 2,236²·2 + 3,162²·6 + 3,606²·4 = 122 Вт.

Реактивная мощность приемников

Q_пр = I₁²(-x_c1) + I₂² x_L2 + I₃² x_L3 – I₃² x_c3;

Q_пр =12,236²·(-3) + 3,162²·7 + 3,606²·15 – 3,606²·10 = 120 вар.

Из расчета мощностей следует, что баланс сходится.

ЗАДАЧА 6. Построение графика зависимости мгновенного значения синусоидальной величины от времени.

Запишем мгновенное значение тока i₁:

i₁ = 2,236 sin(ωt + 63,5⁰) = 3,16sin(ωt + 63,5⁰) А.

При построении графика откладывают начальную фазу φ_L1 = 63,5° (рис.12), причем положительную фазу влево от начала координат, а отрицательную -вправо. С точки зрения математики это означает перенос осей координат в точку А, т.е. производится замена переменных:

х = ωt + 63,5°; i₁ = 3,16sinx.

Эта функция начинается с точки А, где х = 0.

При х = 30° i₁ = 3,16sin30° = 3,16·0,5 = 1,58 А;

При х = 160° i₁ = 3,16sin60° = 3,16 = 2,74 А;

При х = 90° i₁ = 3,16sin90° = 3,16·l = 3,16 А.

Далее точки располагаются симметрично (рис. 12).

Рис.12. График зависимости тока i от времени t

ЗАДАЧА 7. Составление системы уравнений на основании законов Кирхгофа в магнитно-связанной цепи.

В уравнениях необходимо обратить внимание на запись знака напряжения взаимоиндукции U_вз =jx_M I. Если направление обхода первой катушки совпадает с направлением тока другой катушки по отношению к одноименным зажимам, то напряжение взаимоиндукции первой катушки записывают со знаком плюс, в противном случае напряжение взаимоиндукции будет со знаком минус.

Для рассматриваемой цепи (рис.)

а) I₁ + I₂ + I₃= 0;

А) I₁ R₁ + I₁(-jx_C1) + I₂ jx_L2 – I₃ jx_M + I₂ R₂ = E₁;

В) – I₂ R₂ – I₂ jx_L2 + I₃ jx_M – I₃ jx_L3 + I₂ jx_M – I₃(-jx_C3) = -E₃;

В уравнении для контура А напряжение взаимоиндукции второй катушки L₂ записано со знаком минус, так как направление обхода катушки L₂ выбрано от начала катушки к ее концу (обычно начало катушки обозначают точкой), а ток I₃ в катушке L₃ протекает от конца катушки к ее началу, т.е. направление обхода катушки L₂ не совпадает с направлением тока I₃ в катушке L₃ по отношению к одноименным зажимам. В уравнение для контура В вошли два напряжения взаимоиндукции: второй катушки U_вз2 = I₃ jx_M и третьей катушки U_вз3 = I₂ jx_M..