Тема 4. Несинусоидальные периодические токи и напряжения.
Решения задач по несинусоидальным токам и напряжениям рассматриваются на примере цепи, изображенной на рис. 16, в которой
С = 80 мкФ, R = 10 Ом, Um = 20 В, τ = 1 мс, Т = 5 мс.
На
вход цепи подано напряжение u1(t),
заданное графиком, приведенным на
рис.117.
Рис.
16. Схема цепи к задаче 5 Рис.
17. График напряжения
ЗАДАЧА 4. Разложить функцию u1(t) в ряд Фурье до пятой гармоники включительно, используя табличное разложение.
Записываем табличное разложение [6] для напряжения u1(t) (рис.17)
u1(t)
= U0
+ 
Ukm
sin(kωt
+ ψk
)
где к - номер гармоники; U0 - постоянная составляющая,
Ukm
= 
∙
;
ψk
= 
- 
.
Подставляя числовые значения, получим
u1(t) = 4 + 7,48sin(ωt + 54°) + 6,05sin(2ωt + 18°) + 4,04sin(3ωt - 18°) + 1111+ 1,87sin(4ωt - 54°) + 1,3∙10--8 sin(5ωt - 90°) B.
Определим комплексную амплитуду напряжения на выходе цепи рис.16 в
общем виде через параметры цепи и входное напряжение U в режиме холостого хода.
Из схемы заданной цепи (рис. 16) следует:
Здесь первый сомножитель в формуле - ток на входе цепи, второй сомножитель - общее сопротивление цепи на участке ас. Упростим полученное выражение:
ЗАДАЧА 5. Используя выражение, полученное в задаче 4, определить постоянную составляющую, первую, вторую и третью гармоники напряжения
u2 (t) на выходе схемы при холостом ходе.
а) Постоянная составляющая.
Так как конденсаторы на постоянном токе имеют бесконечные
сопротивления, то
U2(0) = U1(0) = 4 B.
Здесь и далее верхний индекс в скобках - номер гармоники.
б) Первая гармоника
xc(1)
= 
=
39,8 Ом;
U1m(1)
=
7,48exp(j54°)
B;
U2m(1)
= 7,48exp(j54°)
= 6,22exp(j15,2°) = 6 + j1,63 B.
в) Вторая гармоника
xc(2)
=
=
19,9 Ом;
U1m(2)
= 6,05exp(j18°)
B;
U2m(2)
= 6,05exp(j18°)
= 3,6exp(-j45,6°)
= 2,52 – j2,57 B.
г) Третья гармоника
xc(3)
=
13,27 Ом;
U1m(3)
= 4,04exp(-j18°)
B;
U2m(3)
= 4,04exp(-j18°)
= 
1,76exp(-j97,2°)
= - 0,22 – j1,74 B.
Запишем мгновенное значение напряжения u2(t) в виде разложения в ряд Фурье (по данным задачи 5):
u2(t) = 4 + 6,22sin(ωt + 15,2°) + 3,6sin(2ωt - 45,6°) + l,76sin(3ωt - 97,2°) В.
Тема 5. Четырехполюсники.
Решения следующих задач по четырехполюсникам рассматриваются на примере цепи (рис. 16), в которой R = 10 Ом, Хс = 39,8 Ом.
ЗАДАЧА 6. Найти коэффициенты А, В, С для схемы четырехполюсника (рис. 16).
Для определения требуемых коэффициентов запишем уравнения четырехполюсника типа "А":
Рассматривая цепь в режиме холостого хода при I2 = 0 из уравнений следует
При определении А можно воспользоваться результатами задачи 4:
Для определения коэффициента С найдем U, предполагая, что ток I1; известен:
Тогда
Рассматривая цепь в режиме короткого замыкания при u2=0 из уравнений четырехполюсника типа «A» следует:
Найдем ток I2
Здесь первый сомножитель в формуле – ток I1 ; второй сомножитель – общее сопротивление цепи между точками а и с ; числитель третьего сомножителя – общее сопротивление на участке вс.
Упростим полученное выражение:
Тогда
ЗАДАЧА 7. Найти характеристическое сопротивление четырехполюсника. Так как заданный четырехполюсник симметричен, то
Найдем напряжение U1 и ток I1 , а также входное сопротивление Zвх , если ток нагрузки I2 = 1 А, а сопротивление нагрузки Zн = Zс
Из уравнений четырехполюсника типа ''А'', учитывая, что U2 = I2 Zс , получим
U1 = A U2 + B I2 = A I2 Zс + B I2 = (A Zс + B) I2 ;
I1=CU2 + DI2=CI2 ZC + AI2=(CZC + A)I2.
Подставляем числовые данные
U1 = [1,2exp(j38,8°)∙24,8exp(-j39,l°) + 29,37 + j10,05]∙l =
= (29,78 - j0,16 + 29,37 + j10,5) = 59,16 + j9,89 = 59,98exp(j9,5°) B;
I1 = [0,05exp(j97,2°)∙24,8exp(-j39,1°) + 0,94 + j0,75]∙l =
= 0,663 + j1,06 + 0,94 + j0,75 = 1,6 + j1,817 = 2,42exp(j48,6°) A;
Zвх = (U1 / I1) = (59,98exp(j9,5°))/(2,42exp(j48,6°)) = 24,77exp(-j39,1°) = 1 = 19,21 – j15,63 Ом.