23. Касательные напряжения в стержне круглого сечения

Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор — крутящий момент Мz. Крутящий момент по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно продольной оси стержня Oz. Нормальные силы, параллельные оси Oz, вклада в крутящий момент не вносят. С силами, лежащими в плоскости поперечного сечения стержня (интенсивности этих сил — касательные напряжения и ) Мz связывает вытекающее из его определения уравнение равновесия статики.

Гипотезы, принимаемые при расчете на кручение:

1) сечения, плоские до деформации, остаются плоскими, и после деформации (гипотеза Бернулли, гипотеза плоских сечений);

2) все радиусы данного сечения остаются прямыми (не искривляются) и поворачиваются на один и тот же угол , то есть каждое сечение поворачивается относительно оси z как жесткий тонкий диск;

3) расстояния между сечениями при деформации не изменяются.

Поскольку крутящий момент Мz — единственный внутренний силовой фактор в поперечном сечении, действующий при этом в плоскости данного сечения, можно предположить, что при кручении в поперечных сечениях вала возни­кают только касательные напряжения (на основе интегральных уравнений равновесия).

В сечении вала выделим элементарную площадку dA на расстоянии

от продольной оси (ось ) стержня. При кручении на площадке dA, будут действовать касательные напряжения , которые создадут элементарный крутящий момент dM, относительно оси z: Тогда полный момент, возникающий во всем сечении, найдем как

(1)

где - касательное напряжение, действующее на элементарной площадке dA, расположенной на произвольном расстоянии (радиусе)

от центра сечения.

Перпендикулярность вектора касательных напряжений радиусу объясняется отсутствием на поверхности вала касательных напряжений, параллельных его оси, и, соответственно (по закону парности касательных напряжений), отсутствием касательных напряжений вдоль радиуса.

Рассмотрим деформацию элемента стержня (вала) длиной dz, выделенного из закручиваемого стержня в произвольной точке с координатой z.

Условно примем, что левое сечение элемента dz остается неподвижным, а правое поворачивается на угол , создаваемый за счет закручивания вала на длине dz. Один из радиусов ОB, оставаясь прямым, поворачивается вместе с сечением на угол , при этом точка В переходит в положение В1, а обра­зующая СВ в положение CB1, поворачиваясь на угол - угол сдвига в этой точке вала.

Длину дуги BB1, найдем из рассмотрения треугольников OBB1 и CBB1:

следовательно

Запишем закон Гука, связывающий касательные напряжения с углом сдвига

Подставим выражение в формулу :

а полученное выражение - в формулу(1):

Величина - называется полярным моментом инерции и является геометрической харак­теристикой данного сечения. Таким образом, окончательно можем записать или

Величина касательных напряжений при кручении определяется следующим образом:

Как видим, касательные напряжения распределены по сечению вала по линейному закону и достигают максимальной величины на поверхности вала (при ):

где - полярный момент сопротивления.