42 Влияние способов закрепления концов стержня на величину критической силы

Задача определения критической силы для сжатого стержня впервые была решена в 1744 году выдающимся математиком Леонардом Эйлером . Формула для критической силы была выведена Эйлером на примере идеального прямого стержня постоянного сечения , шарнирно закрепленного на концах (Рис.2). 

рис.2 

Одна из опор стержня допускает возможность продольного перемещения соответствующего конца стержня . Собственный вес стержня не учитывалась . Искомая формула выглядела :  ( 2 )  Формула Эйлера ( 2) для критической силы выводилась для стержня с шарнирным закрепления концов . Этот случай закрепления концов стержня принято называть основным случаем. В этом случае на длине стержня укладывается одна полуволна синусоиды. Однако , в практике встречаются различные другие случаи закрепления концов стержня . На рис.3 приведены некоторые из них , которые наиболее часто встречаются .  ВМЕСТО v писать надо так обычно обозначаем

рис.3 

Для определения значения критической силы для каждого из приведенных случаев закрепления концов на практике применяется способ , который использует геометрическую аналогию между поведением упругой линии сжатого стержня с шарнирным закреплением концов ( основной случай) и другим способом закрепления концов стержня . Согласно этим способом все остальные случаев закрепления концов стержня сводится к основному путем введения так называемой сводной или свободной длины стержня .  Сводной или свободной длиной стержня называется условная длина шарнирно закрепленного стержня, имеет такую ​​же критическую силу , как и стержень с заданным закреплением концов. Судить о сводную длину стержня можно по числу полуволн , которые укладываются на длине стержня . С геометрической аналогии следует , что в пределах сводной длины стержень с произвольным закреплением концов вести себя так же , как стержень с шарнирным закреплением концов.  Сводная длина стержня вычисляется следующим образом : , где  длина стержня с заданным закреплением концов;  коэффициент сводной длины.  Из определения сводной длины следует , что коэффициент есть такое число , на которое необходимо умножить длину стержня с заданным закреплением концов , чтобы получить такую ​​длину условного стержня с шарнирным закреплением концов , на котором заключается одна полуволна синусоиды.  Для стержня , изображенного на рис.3 , а длина условного стержня с шарнирным закреплением концов должно быть в два раза больше , чем заданная длина стержня . Верхняя часть условного стержня с шарнирным закреплением концов вести себя точно так же, как и стержень с заданным закреплением концов. Коэффициент возведения длины для этого случая равна . На рис.3 , в одна полуволна размещается на длине , составляющей 0,7 реальной длины стержня . Коэффициент возведения длины в этом случае составляет . Для случая жесткого закрепления обоих концов стержня ( Рис.3 , г ) длина полуволны , замеренная между двумя точками перегиба , составляет половину длины стержня . Для этого случая коэффициент. Для основного случая ( Рис.3 , б) коэффициент , поскольку на его длине укладывается одна полуволна и , следовательно , сведена длина стержня равна реальной его длине.  Преобразуем формулу Эйлера ( 2 ) , подставляя в нее вместо реальной длины стержня сводную длину. Получаем формулу Эйлера для критической силы в окончательном виде :  ( 3 )  На рис.3 приведены значения критической силы для стержней с различными условиями закрепления концов при одинаковых начальной длине и жесткости поперечного сечения . Следует отметить , что наибольшее значение критическая сила достигает для стержня с жестким закреплением концов ( Рис.3 , г). В этом случае критическая сила оказывается в четыре раза больше , чем для основного случае закрепления концов . Наименее эффективным типом закрепления концов стержня является случай , приведенный на рис.3 , а . Критическая сила в этом случае оказывается в четыре раза меньше , чем для основного случая. 

43 Приведенная длина и гибкость стержня Гибкость стержня — отношение расчетной длины стержня   к наименьшему радиусу инерции   его поперечного сечения.

Это выражение играет важную роль при проверке сжатых стержней на устойчивость. В частности, от гибкости зависит коэффициент продольного изгиба  . Стержень с большей гибкостью, при прочих неизменных параметрах, имеет более низкую прочность на сжатие и сжатие с изгибом. Расчетная длина   вычисляется по формуле:

, где

 — коэффициент, зависящий от условий закрепления стержня, а   — геометрическая длина. Расчетная длина, также называется приведенной или свободной. Понятие приведенная длина впервые ввел Ясинский, для обобщения формулы критической силы Эйлера, которую тот выводил для стержня с шарнирно-опертыми концами. Соответственно коэффициент  равен при шарнирных концах(основной случай) одному, при одном шарнирном, другом защемленным  , при обоих защемленных концах  . Схемы деформирования и коэффициенты   при различных условиях закрепления и способе приложения нагрузки, изображены на рисунке. Также, стоит отметить, что формула Эйлера верна только для элементов большой гибкости, например для стали она применима при гибкостях порядка   и выше. 49. Продольно-поперечный изгиб. Расчеты на прочность и учтойчивость

Сжато-изогнутые стержни рассчитываются на устойчивость в 2х главных плоскостях инерции по формуле: и на прочность при продольно-поперечном изгибе. Величина наибольшего сжимающего напряжения в опасном сечении стержня определяется по формуле: . Воспользовавшись приближенным методом расчета, эту формулу можно переписать в виде: (1)

Увеличим все нагрузки, действующие на стержень в k раз. Тогда получим:

Таким образом, существенной особенностью продольно-поперечного изгиба является то, что напряжения в поперечных сечениях стержня нелинейно зависят от внешних нагрузок и при увеличении нагрузок возрастают быстрее последних. Поэтому реальных коэффициентом запаса сжато-изогнутого стержня является коэффициент запаса по нагрузкам , который показывает, во сколько раз надо увеличить все заданные нормативные нагрузки, чтобы наибольшее сжимающее напряжение достигло опасной величины. Для пластичного материала за опасное принимается напряжение, равное пределу текучести . Положив в формуле (1) , и допуская, что закон Гука справедлив до предела текучести, получим квадратное уравнение для определения коэффициента запаса по нагрузкам:

Нетрудно показать, что коэффициент запаса по напряжениям, равный отношению предела текучести к наибольшим напряжениям , больше коэффициента запаса по нагрузкам . По этой причине выполнение условия прочности по напряжениям

в основу которого положен коэффициент запаса по напряжениям, не гарантирует достаточного запаса прочности сжато-изогнутого стержня по нагрузкам.

Проверка прочности сжато-изогнутого стержня из пластичного материала может быть сведена к требованию, чтобы наибольшие сжимающие напряжения от действия заданных нормативных нагрузок , , умноженных на заданную величину коэффициента запаса по нагрузкам , не превышали предел текучести материала

.