Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

До сих пор, говоря о суммах, мы всегда предполагали, что число слагаемых в этих суммах конечно (например, 2, 15, 1000 и т. д.). Но при решении некоторых задач (особенно высшей математики) приходится сталкиваться и с суммами бесконечного числа слагаемых

S = a₁ + a₂ + ... + a_n + ... .                                 (1)

Что же представляют из себя такие суммы? По определению суммой бесконечного числа слагаемых a₁, a₂, ..., a_n, ... называется предел суммы S_n первых п чисел, когда п—> ∞:

S =  S_n =  (a₁ + a₂ + ... + a_n).                     (2)

Предел (2), конечно, может существовать, а может и не существовать. Соответственно этому говорят, что сумма (1) существует   или   не  существует.

Как же выяснить, существует ли сумма (1) в каждом конкретном случае? Общее решение этого вопроса выходит далеко за пределы нашей программы. Однако существует один важный частный случай, который нам предстоит сейчас рассмотреть. Речь будет идти о суммировании членов бесконечно убывающей геометрической   прогрессии.

Пусть a₁ , a₁q , a₁q², ...— бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это означает, что | q |< 1. Сумма первых п членов  этой   прогрессии   равна

Из основных теорем о пределах переменных величин (см. § 136) получаем:

Но       1 =  1,    a       qⁿ = 0.   Поэтому

Итак, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна первому члену этой прогрести, деленному на единицу минус знаменатель этой прогрессии.

Примеры.

1)  Сумма геометрической прогрессии 1, ¹/₃ , ¹/₉ , ¹/₂₇  ,    ...   равна

а сумма геометрической прогрессии  12; —6; 3; — ³/₂,  ...    равна

3.Ряды с положительными членами

Гармонический ряд — сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

.

Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»:  -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной   от длины исходной струны.

5. При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число  ,  , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме[править | править исходный текст]

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если  , а если   — расходится.

Замечание. Если  , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда с неотрицательными членами существует такое число  ,  , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство  , то данный ряд сходится.

Условие радикального признака равносильно следующему:

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда , то если   ряд сходится, если   ряд расходится, если   вопрос о сходимости ряда остается открытым.

6. Интегральный признак Коши́-Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши-Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на  , последний часто может быть найден в явном виде.

Пусть для функции f(x) выполняется:

1.  (функция принимает неотрицательные значения)

2.  (функция монотонно убывает)

3.  (соответствие функции ряду)

Тогда ряд   и несобственный интеграл   сходятся или расходятся одновременно.

7. Абсолютная и условная сходимость рядов

Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).  (1) И ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):  (2) Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого e>0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство: По свойству абсолютных величин: То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). Определение. Ряд  Называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд  . Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают. Определение. Ряд  Называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд   расходится. 8. Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.: Признак Лейбница Основная статья: Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы: Пусть для знакочередующегося ряда выполняются следующие условия:  (монотонное убывание {an}) . Тогда этот ряд сходится.