Свойства дисперсии.

    Свойства дисперсии определяются свойствами МО. Напомним, дисперсия является центральным моментом второго порядка:  D(x) = M[(x-Mx)²].     Дисперсия любой случайной величины независимо от вида распределения, которому она подчиняется обладает следующими свойствами.     1.ДИСПЕРСИЯ НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ РАВНО НУЛЮ.     Пусть а - неслучайная величина. Тогда D(a)=M[(a-M(a))²]=M[0]=0.     2. ДИСПЕРСИЯ СУММЫ НЕСЛУЧАЙНОЙ И СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИН РАВНА ДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ (ДИСПЕРСИЯ ИНВАРИАНТНА СДВИГУ).     Пусть а - неслучайная величина. Тогда D(a+x)=M[(a+x-M(a+x))²]= M[(x-M(x))²]=D(x).     3.ДИСПЕРСИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ НА СЛУЧАЙНУЮ РАВНА ПРОИЗВЕДЕНИЮ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ НА КВАДРАТ НЕСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.     Пусть а - неслучайная величина. Тогда D(a*x)=M[(a*x-M(a*x))²]=M[(a*(x-M(x))²]=

=M[a²*(x-M(x))²]=a²*D(x).     4. ДИСПЕРСИЯ СУММЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН РАВНА СУММЕ ДИСПЕРСИЙ ЭТИХ ВЕЛИЧИН И УДВОЕННОЙ КОВАРИАЦИИ ЭТИХ ВЕЛИЧИН.     Пусть x и у - случайные величины. Тогда D(x+y)=M[((x+y)-M(x+y))²]= =M[((x-Mx)+(y-My))²]=M[(x-Mx)²+(y-My)²+2*(x-Mx)*(y-My)]=M[(x-Mx)²]+ +M[(y-My)]+2*M[(x-Mx)*(y-My)]=D(x)+D(y)+2*COV(x,y).     Величина COV(x,y)=M[(x-Mx)*(y-My)] называется ковариацией и обладает свойством: ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КОВАРИАЦИЯ ВСЕГДА РАВНА НУЛЮ. Отсюда, следует: ДИСПЕРСИЯ СУММЫ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ (И ТОЛЬКО НЕЗАВИСИМЫХ) СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН РАВНА СУММЕ ДИСПЕРСИЙ ЭТИХ ВЕЛИЧИН.

11. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа

 

         При достаточно большом  n  и не слишком малых  p  и  q  формула Пуассона уже даёт значительную погрешность и применяется другое приближение – формула  Муавра - Лапласа, которую можно получить из формулы Бернулли, совершая предельный переход и применяя формулу Стирлинга для вычисления  

 где    и                    (1.21)

 

Эта формула также табулирована (Таблица 3), причём в силу чётности функции  , таблица её значений составлена только для 

      Если при сохранении условий предыдущего пункта нас интересует вероятность того, что при   испытаниях событие   появляется не менее   и не более   раз, то формула (1.18) с учётом предельного перехода превращается в интегральную формулу Муавра-Лапласа:

где

 

и сумма превращается в интеграл. Функция  – интеграл от  – называется функцией Лапласа и представляет собой не выражающийся через элементарные функции интеграл. Поскольку функция Лапласа нечётная ( ) и быстро приближается к своему асимптотическому значению 0.5, то таблица её значений (Таблица 4) составлена для  . Для больших значений аргумента с большой точностью можно принять  .

 

 

Пример 16.

 

При установившемся технологическом процессе ЖБК выпускает 80% всех изделий первым сортом. Найти вероятность, что : из 100 поставленных первосортных будет ровно 75, не менее 75.

 

Решение. Поскольку n  = 100 велико,  p = 0,8  и  q = 0,2 не малы, применяем локальную и затем интегральную формулы Муавра-Лапласа

 

12.РЕПРЕЗЕНТАТИВНОСТЬ

Репрезентати́вность — соответствие характеристик выборки характеристикам популяции или генеральной совокупности в целом. Репрезентативность определяет, насколько возможно обобщать результаты исследования с привлечением определённой выборки на всю генеральную совокупность, из которой она была собрана.

Также репрезентативность можно определить как свойство выборочной совокупности представлять параметры генеральной совокупности, значимые с точки зрения задач исследования.

Пример

Предположим, совокупность — это все учащиеся школы (600 человек из 20 классов, по 30 человек в каждом классе). Предмет изучения — отношение к курению. Выборка, состоящая из 60 учеников старших классов, гораздо хуже представляет совокупность, чем выборка из тех же 60 человек, в которую войдут по 3 ученика из каждого класса. Главной причиной тому — неравное возрастное распределение в классах. Следовательно, в первом случае репрезентативность выборки низкая, а во втором случае репрезентативность высокая (при прочих равных условиях).

ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД

При изучении совокупности интересующий нас признак у различных единиц совокупности принимает различные значения, т.е. он имеет некоторую вариацию.

Вариацией признака называется наличие различий в численных значениях признаков у отдельных единиц совокупности.

Чтобы выявить характер распределения единиц совокупности по варьирующим признакам, определить закономерности в этом распределении, строят ряды распределения единиц совокупностей по какому-либо варьирующему признаку.

Ряды распределения, построенные по количественному признаку называются вариационными.

При анализе вариационных рядов решают следующие задачи:

1) Определение меры вариации, т.е. количественное измерение степени колеблемости признака. Это позволяет сравнивать различные совокупности между собой по степени рассеяния и отслеживать уровень вариации признака одной и той же совокупности в различные периоды.

2) Исследование закономерностей вариации в статистических совокупностях для изучения причин, вызывающих вариацию.

Для описания статистических распределений обычно используются следующие виды характеристик (показателей):

1) средние величины;

2) характеристики вариации (рассеяния);

3) характеристики дифференциации и концентрации;

4) характеристики формы распределения.

13.ВЫБОРОЧНОЕ СРЕДНЕЕ

Вы́борочное (эмпири́ческое) сре́днее — это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него.

Выборочное среднее определяется при помощи следующей формулы: где  х_ср —выборочная средняя величина или среднее арифметичес­кое значение по выборке;  п — количество испытуемых в выбор­ке или частных психодиагностических показателей, на основе ко­торых вычисляется средняя величина;  x_k — частные значения по­казателей у отдельных испытуемых. Всего таких показателей п, поэтому индекс k данной переменной принимает значения от 1 до п;  ∑ — принятый в математике знак суммирования величин тех переменных, которые находятся справа от этого знака.  Выра­жение   соответственно означает сумму всех х с индексом k от 1  до n. Пример. Допустим, что в результате применения психодиаг­ностической методики для оценки некоторого психологическо­го свойства у десяти испытуемых мы получили следующие част­ные показатели степени развитости данного свойства у отдель­ных испытуемых: х₁= 5, х₂ = 4, х₃ = 5,х₄ = 6, х₅ = 7, х₆ = 3, х₇ = 6, х₈₌ 2, х₉= 8, х₁₀ ⁼ 4. Следовательно, п = 10, а индекс k меняет свои значения от 1 до 10 в приведенной выше формуле. Для данной выборки среднее значение¹, вычисленное по этой формуле, бу­дет равно:

Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки. Различают выборочную дисперсию и несмещённую, или исправленную, выборочные дисперсии.

Определения

Пусть   — выборка из распределения вероятности. Тогда

• Выборочная дисперсия — это случайная величина

,

где символ   обозначает выборочное среднее.

• Несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина

.

14.ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ГЕНЕРАЛЬНОГО СРЕДНЕГО И ГЕНЕРАЛЬНОЙ ДИСПЕРСИИ

То́чечная оце́нка в математической статистике — это число, вычисляемое на основе наблюдений, предположительно близкое к оцениваемому параметру.

Выборочное среднее

(несмещенная, состоятельная оценка математического ожидания)

где x_i - выборочные значения; n - объем выборки.

     Выборочная дисперсия

(смещенная, состоятельная оценка дисперсии)

     Исправленная выборочная дисперсия

(несмещенная, состоятельная оценка дисперсии)