Механика

План изложения материала

1. Закон всемирного тяготения.

2. Вращательное движение тел.

3. Неинерциальные системы отсчета.

4. Механические колебания и волны.

1. Закон всемирного тяготения

Вопрос «Постоянная тяготения и её измерение» рассматривается по любому из предложенных информационных источников.

Поле тяготения

Гравитационное поле – особый вид материи, обладающий свойствами: а) порождается всеми объектами, имеющими массу, и действует на все другие материальные объекты; б) скорость распространения равна скорости света (экспериментов, подтверждающих этот вывод СТО, пока выполнить не удалось); в) от поля тяготения пока не найдено «экранов» (для этого необходимо иметь тело с отрицательной массой).

Космические скорости, основы космонавтики

Это скорости, необходимые для того, чтобы тело стало либо искусственным спутником Земли (ИСЗ – 1-я КС = 8 км /с), либо микропланетой Солнечной системы (2-я КС = 11,2 км /с), либо могло бы выйти за пределы этой системы (3-я КС = 16,7 км / с) или нашей Галактики (4-я КС = 285 км / с).

Ускорение свободного падения. Законы равноускоренного движения. – вопрос рассматривается по любому из предложенных информационных источников.

Объяснение двухразового лунного прилива. Сравнение притяжения Луны к Земле и Солнцу, объяснение полученных результатов.

Первую теорию приливов создал Ньютон вскоре после открытия им ЗВТ. Для этого он использовал понятие силы инерции (сила инерции вводится в неинерциальных СО, коей является и вращающаяся вокруг своей оси Земля. Согласно принципу Даламбера, законы классической механики можно применить и в НИСО, добавив к реально действующим силам силу инерции).

Дело в том, что Земля вращается не только вокруг своей оси и вокруг Солнца, но и … вокруг Луны. Учет именно этого вращения и позволил Ньютону построить теорию приливов. Представьте себе двух людей разного веса кружащихся в быстром вальсе, держась за вытянутые руки партнера. Каждый из партнеров при этом движется по окружности своего радиуса, но с общим центром, совпадающим с их общим центром масс. Более массивный партнер вращается по окружности малого радиуса, но он не неподвижен! Точно также Земля и Луна, притягиваясь друг к другу по закону ВТ, вращаются в пространстве вокруг общего центра масс С.Вследствие большей массы Земли этот центр находится внутри земного шара, но он смещен по отношению к центру Земли О. Угловые же скорости ω вращения Земли и Луны вокруг точки С одинаковы. Перейдем в систему отсчета, вращающуюся с угловой скоростью ω. В ней Земля и Луна относительно друг друга неподвижны. Но поскольку эта система НИСО (не инерциальная), то на каждый элемент массы действует не только сила тяготения, но и центробежная сила, которая тем больше, чем дальше отстоит частица от центра вращения С.

Пусть для простоты вода покрывает всю поверхность Земли однородным слоем. При этом вода не может находиться в равновесии, так как появляются дополнительные силы притяжения к Луне и цетробежные силы инерции. У поверхности, обращенной к Луне, сила притяжения F_1тЛ и цетробежная сила F_1цб направлены от центра Земли, в результате чего образуется водяной горб А. Но и у дальней поверхности воды возникает аналогичная ситуация. Только здесь сила инерции F_2цб больше центробежной силы F_1цб (так как больше расстояние от центра вращения С), а сила притяжения к Луне F_2тЛ меньше F_1тЛ из-за большего расстояния до центра Луны. Равнодействующая этих сил также направлена от центра Земли и приводит к возникновению ещё одного горба В. Поэтому равновесию соответствует картина, показанная на рис. 1 пунктиром.

В действительности оказывается, что горбы находятся не на линии, соединяющей центры Земли и Луны, а несколько смещены в сторону. Происходит это по причине того, что Земля, вращаясь вокруг своей оси, увлекает вследствие трения за собой воду в океане. Поэтому по мере поворота Земли в приливные горбы вовлекаются все новые и новые массы воды. Деформация, однако, всегда запаздывает по отношению к вызывающей её силе, поэтому точка максимального поднятия воды (вершина горба) и точка на линии центров, где на воду действует максимальная сила притяжения к Луне, не совпадают. Образование горба происходит с некоторым запаздыванием, о он смещается в сторону вращения Земли. Разность сил притяжения к Луне (F_1тЛ и F_2тЛ) в таком случае будет создавать вращающий момент, тормозящий вращение Земли. Поэтому длительность суток каждодневно увеличивается! В конце концов время обращения Земли вокруг своей оси сравняется со временем обращения Луны вокруг Земли и Земля будет обращена к Луне всегда одной стороной.

2. Вращательное движение тел

Уравнение вращательного движения тел. Момент инерции

Абсолютно твердое тело (АТТ) – тело, у которого объем, форма и распределение плотностей остаются неизменными во времени независимо от действия внешних сил и скорости движения тела. АТТ рассматривается как система материальных точек.

Вращением АТТ вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором траектории всех точек тела образуют окружности с центром на одной прямой, называемой осью вращения.

Для характеристики способности силы приводить тело во вращение используют физическую величину – вращающий момент силы (рис. 2). Она равна векторному произведению радиус-вектора и силы :

, М = F·r·sin ,

где величина r·sin называется плечом силы (кротчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы). Направление определяют по правилу правой руки: направьте четыре пальца правой руки по направлению вращения тела так, чтобы они могли охватить ось вращения, тогда отогнутый под прямым углом, большой палец, покажет направление вектора момента силы .

Разделим мысленно тело на N элементарных объемов с номером i и массой ∆m_i каждый. Для любой из этих ∆m_i справедлив 2-й закон Ньютона:

∆ = ∆m_i· .

Умножим обе части векторно на радиус-вектор слева: Тогда

[ ∆ ] = ∆m_i·[ ] = ∆m_i·r_i²· ,

где – угловое ускорение точек АТТ. Но и ∆m_i·r_i² = ∆I_i.

Для суммы N элементарных объемов получим: , где величину называют моментом инерции твердого тела (или системы материальных точек). Величина момент инерции J характеризует инертные свойства во вращательном движении, т. е. способность тела сохранять свою угловую скорость. При определении момента инерции тела необходимо указывать, относительно какой оси он рассчитан.

[I] =кг·м².

Тогда получаем основной закон динамики вращательного движения – угловое ускорение, испытываемое твердым телом при вращении его вокруг оси, пропорционально моменту внешних сил относительно этой оси и обратно пропорционально моменту инерции относительно той же оси.

Кинетическая энергия вращающегося тела рассчитывается по формуле:

.

Если же тело, кроме вращательного движения, участвует ещё и в поступательном движении (например, катящийся шар), то кинетическая энергия его складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

– .

кинетическая энергия АТТ равна сумме кинетический энергии поступательного движения массы тела, мысленно сосредоточенной в его центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии тела, обусловленной его вращательным движением относительно центра масс.

Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

Момент импульса относительно оси – величина-аналог при вращательном движении импульса – характеристики поступательного движения.

→ ( )

(см. рис. 3)

Если , то → = const – это и есть закон сохранения момента импульса: Если момент внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса и угловая скорость вращения тела не меняются. Если I изменять, то . Если вращается не одно тело, а система тел, момент инерции которой под действием внутренних сил может изменяться, то при изменении момента инерции системы I одновременно будет изменяться угловая скорость ω так, чтобы сохранялась величина момента импульса:

Таким образом, закон сохранения момента импульса справедлив не только для одного тела, но и для любой замкнутой (изолированной) системы тел.

Применение закона на практике

Сохранение направления оси вращения в пространстве

Сохранение модуля момента импульса

1) Гироскопы – массивные однородные тела (диски), вращающиеся с большой скоростью около своей оси симметрии (юла, волчок, навигационные приборы – указатели курса, поворота, горизонта, гирокомпас, автопилот, авторулевой). 2) Устойчивость наклона земной оси по отношению к плоскости орбиты. 3) Вертикальная устойчивость движущегося велосипеда (оси колес сохраняют ориентацию параллельно поверхности дороги). 4) Нарезное оружие (повышение прицельности стрельбы вследствие большей устойчивости пули к действию ветра). 5) Жонглирование вращающимися предметами и удержание вращающегося мяча на вертикально поднятом пальце (цирковые аттракционы)

1) Скамья Жуковского (ω ~ (1 / I) ~ 1/ r2, r↓, ω↑). 2) Прием «пируэт» в фигурном катании. 3) Акробатический прыжок «сальто». 4) Использование артистами балета

Сопоставление основных величин и уравнений, описывающих вращение АТТ вокруг неподвижной оси и его поступательное движение

Поступательное движение		Вращательное движение
Масса	m	Момент инерции	I
Скорость		Угловая скорость
Ускорение		Угловое ускорение
Сила		Момент силы
Импульс		Момент импульса
Основное уравнение		Основное уравнение
Кинетическая энергия		Кинетическая энергия

Вращение планет и Солнца (изучается по любому учебнику физики или астрономии).

Прецессия земной оси. Движение полюсов и его причины

Движение оси гироскопа (Земли) под действием внешней силы называют вынужденной прецессией гироскопа (от латинского praecessio – движение впереди).

Смена времен года на Земле изучается по любому источнику информации, а также см. рис. 4.

Земная ось наклонена по отношению к плоскости земной орбиты вращения Земли вокруг Солнца на 66ْ 33´. Замечательно, что возникший под влиянием внешнего ударного импульса (по предположениям) наклон земной оси не изменился за 4,5 миллиарда лет существования Земли.

Н аша планета, подобно гигантскому волчку (юле) сохраняет направление оси вращения в пространстве в соответствии с законом сохранения момента импульса. За 1 год Земля оборачивается по эллиптической орбите вокруг Солнца, при этом угол падения солнечных лучей на поверхность земного шара в данной точке в определенное время суток изменяется от максимального до минимального. Когда Земля находится на ближайшем расстоянии от Солнца в перигелии, Северный полюс отклонен от Солнца и находится в тени (на нем полугодовая полярная ночь). При этом солнечные лучи падают на поверхность под большим наклоном к вертикали, тепла мало, стоит зима. Через полгода Земля находится в наиболее удаленной от Солнца точке афелии, при этом северный полюс наклонен к Солнцу (здесь стоит полугодовой полярный день), а в северном полушарии лучи падают почти отвесно, стоит лето. Эллиптичность земной орбиты приводит также к неравенству продолжительности сезонов года.

3. Неинерциальные системы отсчета

Силы инерции и силы гравитации

Системы отсчета, движущиеся с ускорением, – НИСО (неинерциальные).

Уравнения движения тел в НИСО составляют с учетом принципа Даламбера: к фактически действующим силам добавляется сила инерции –

, здесь – ускорение, испытываемое НИСО.

Сила Кориолиса – это одна из составляющих силы инерции во вращающейся системе отсчета при движении тела относительно оси вращения (под углом, в частности, перпендикулярно). Рассмотрим пример движения человека на горизонтальной равномерно вращающейся платформе-крусели (человек переходи из одного кресла в другое). В этом случае сила инерции, действующая на человека В НИСО, связанной с крутящейся каруселью, складывается из двух составляющих – центробежной силы ( F_ЦБ= mω²r),  стремящейся отбросить тело от центра, и кориолисовой силы ( F_К= 2mυω²), толкающей тело вбок. Сила Кориолиса (французского ученого) не зависит от положения тела на платформе, но пропорциональна его массе, скорости движения по платформе и угловой скорости вращения платформы – НИСО. Направление F_К определяют по правилу левой руки: 4 пальца левой руки направить по скорости перемещения объекта относительно НИСО, ладонь сориентировать так, чтобы вектор угловой скорости входил в ладонь, тогда отогнутый под прямым углом большой палец покажет направление силы Кориолиса (рис.5).

Проявление центробежных сил и сил Кориолиса на вращающейся Земле: подмывание берегов рек, пассаты, зависимость веса тел от широты места, форма Земли. Вес и невесомость.

Кориолисова сила приводит к отклонению падающих тел к востоку. У рек в Северном полушарии, текущих с севера на юг, правый берег более крутой и размытый, чем левый (закон Бэра). F_К прижимает воду к правому берегу и подмывает его. Вековое действие данной силы заставляет реки постепенно изменять свои русла со сдвигом в правую сторону, вследствие чего слева появляются песчаные отмели.

А налогичное явление проявляется при движении поездов с севера на юг. При этом правый рельс и реборда правого колеса стираются больше, чем левые.

Точно также объясняются искривления направления постоянных пассатных ветров, дующих с севера на юг (в Северном полушарии) и с юга на север (в Южном полушарии). Если бы Земля не вращалась, воздушные массы двигались бы по меридианам и ветры были бы северные и южные. Но из-за вращения Земли северные ветры уклоняются вправо, образуя северо-восточный пассат, а южные потоки воздуха уклоняются влево, образуя юго-восточный пассат (см. рис. 6).

Вследствие вращения Земля имеет форму не идеального шара, а эллипсоида (сжата у полюсов – различие осей эллипсоида составляет 60 км).

На тело массой m, находящееся на поверхности Земли, в СО, связанной с вращающейся Землей, действуют две силы – сила притяжения к Земле (гравитационная), направлена к её геометрическому центру, другая – центробежная сила инерции, направленная перпендикулярно к оси вращения Земли. Вектор суммарной силы – силы тяжести – не совпадает с радиусом Земли, он отклоняется от него на угол, величина которого зависит от широты местности. Направление суммарной силы (силы тяжести) есть направление вектора свободного падения на вращающейся Земле. Направление силы тяжести определяет линию отвеса, или геодезическую вертикаль.

Величина ускорения свободного падения максимальна на полюсе (9,832 м/ с²) и минимальна на экваторе (9,78 м/с²). В городе Кирове с широтой 58,5ْ g = 9,817 м/с². Линия отвеса в городе Кирове проходит на расстоянии 10 км от геометрического центра Земли. Так как с ускорением свободного падения связано понятие веса тела, то вес одного и того же тела (сила, с которой тело действует на опору или подвес) также имеет различное значение на различных географических широтах.

Механические колебания и волны

Линейный гармонический осциллятор – колебательную систему, в которой материальная точка совершает гармонические колебания. Колебательная система – совокупность элементов, обеспечивающих колебательное движение тела.

Основные характеристики гармонического колебательного движения – вопрос изучается по любому учебнику физики.

Дифференциальное уравнение собственных колебаний осциллятора:

Энергия гармонических колебаний: кинетическая энергия колеблющейся точки изменяется с удвоенной частотой по отношению к . Потенциальная энергия гармонического осциллятора также изменяется с удвоенной частотой в противофазе по отношению к кинетической энергии.

Полная механическая энергия при этом остается постоянной:

,

,

Сложение гармонических колебаний одинаковых частот: суммарное колебание также есть гармоническое. Представление о гармоническом анализе. Вынужденные колебания. Резонанс. Волны. Уравнение бегущей волны. Энергия, переносимая волной. Звуковые волны. Ультразвук и инфразвук – изучается по любому доступному источнику информации по физике.

Объяснение природы землетрясений с точки зрения физики – см. Тарасов Л. В. Физика в природе: кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1988. – 351 с. (или более позднее издание). – гл. 17 (Землетрясения, с. 251-262).

Элементы СТО