Определение передаточной функции. Сущность преобразования Лапласа. Основные свойства преобразования Лапласа. Передаточная функция
В теории АУ используется понятие передаточной функции.
(1)
y(t); x(t); f(t)
В ТАУ выходную величину и её производную пишут в левой части. Входную - в правой.
Для выражения (1) введем оператор дифференцирования. При преобразовании и операт. Форму необходимо (общепринято) коэффициент при младшей (нулевой) степени производной «y» привести к единице, разделив обе части уравнения на a2
Выражаем y
W(p) – передаточная функция по входной величине
Wf(p) – передаточная функция по возмущению
- п.ф. по x(t)
- главная п.ф. (*)
-
п.ф. по f(t)
Более строго определение передаточной функции представляет собой отношение изображения по Лапласу выходной величины к отношению изображения по Лапласу входной величины к изображению по Лапласу входной величины.
Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа. Когда система описывается дифференциальными и интегральными уравнениями часто удобно воспользоваться преобразованием Лапласа для их расчёта. При этом уравнения становятся алгебраическими. При этом упрощённо можно считать ПЛ разложением сигнала на синусоиды и экспоненты. Для дискретных сигналов ПЛ называется Z-преобразованием.
Суть преобразования Лапласа
-
Преобразование Фурье
Различным функциям вещественых перемещений времени t ПЛ ставят в соответствие функции комплексного перемещения p и наоборот.
-
Преобразование Лапласа
р=σ+jω – оператор дифференцирования
Изображение функции по Лапласу представляет собой комплексную плоскость, где по оси действительных значений отложено σ, по оси мнимых значений – величины jω. При этом каждая точка плоскости является величиной комплексной и может быть представлена в алгебраической или полярной нотации. Для того, чтобы найти изображение по Лапласу, исходный сигнал перемножают на различные экспоненты e-σt. Если σ<0, то экспоненты возрастающие (левая полуплоскость), если σ>0, то правая полуплоскость. Для каждого из этих произведений находят преобразование Фурье и располагают вдоль оси мнимых значений. Верхняя и нижняя полуплоскости будут зеркальными, если исходный сигнал представлен действительной функцией.
Свойства преобразования Лапласа:
Свойства преобразования Лапласа
В
приводимых ниже формулах 
и 
являются
преобразованиями Лапласа от
функций 
и 
соответственно.
Линейность.
.
Теорема подобия.
.
Дифференцирование оригинала.
.
Именно это свойство и обеспечило такую популярность преобразованию Лапласа: оно операцию дифференцирования оригинала заменяет операцией умножения изображения на p. Это, конечно, сильно упрощает решение задач, где есть производные.
Дифференцирование изображения.
.
Интегрирование оригинала.
.
Наряду со свойством 3, это свойство является основным для приложений преобразования Лапласа, так как оно заменяет сложнуюоперацию интегрирования оригинала операцией деления изображения на p.
Интегрирование изображения.
.
Теорема запаздывания.
.
Теорема смещения.
.
Теорема умножения.
.
Комбинация 
называется сверткой функций
и
и
обозначают символом 
.
Эта операция также встречается очень
часто при решении прикладных задач, и
преобразование Лапласа позволяет
заменить операцию
свертки двух
оригиналовоперацией
умножения их
изображений.
Предельные соотношения.
