Раздел 1

Дано: E₁=15 В, E₂=20 В, R₁=10 Ом, R₂=12 Ом, R₃=15 Ом.

Определить ток I₃ через сопротивление R₃ приведенной на рисунке 1 схемы, используя методы:

1. эквивалентных преобразований;

1. эквивалентного генератора (активного двухполюсника);

2. узловых потенциалов;

3. суперпозиции (наложения).

Решение:

1. Метод эквивалентных преобразований.

1)Источники Е₁ и Е₂ включенные последовательно с ними сопротивления R₁ и R₂ заменяются источниками тока I₁ и I₂ с параллельно включенными сопротивлениями R₁ и R₂

I₁=E₁/R₁=15/10=1,5A

I₂=E₂/R₂=20/12=1,67A

Эквивалентная схема после замены источников ЭДС на источники тока:

2) Так как источники тока I₁ и I₂ включены параллельно, их можно заменить одним I_экв.; параллельно включенные сопротивления R₁ и R₂ — сопротивлением R_экв.

I_экв.= I₁ + I₂ = 1,5+1,67=3,17A

1/R_эвк. = 1/R₁ + 1/R₂ = 1/10+1/12=22/120

R_экв. = 5,45Ом

Эквивалентная схема после замены нескольких источников тока одним:

3) Источник тока I_экв. и сопротивление R_экв., включенное параллельно ему, преобразуется в источник ЭДС с внутренним сопротивлением R_экв.

E_экв.= I_экв. ∙ R_экв. =3,17×5,45 = 17,27 В

что приводит к схеме:

4) По закону Ома находим ток I₃.

I₃ = E_экв./R_экв.+R₃ = 17,27/(5,45+15) = 0,84 А

Ответ: I₃ =0,84 A

2. Метод эквивалентного генератора.

1)Определяем ЭДС E_г эквивалентного генератора одним из методов расчёта. Например, составим контурное уравнение по II закону Кирхгофа.

I₁ (R₁+R₂) = E₁-E₂

найдём ток I₁ = I₂

I₁=I₂=(E₁-E₂)/(R₁+R₂)

I₂= (15-20)/(10+12)= -0,227 A

Тогда: Е_г = U₁₂ = E₂ + I ₂R₂

E_г = U₁₂ = 20-0,227*12 = 17,276 В

2) Находим внутреннее сопротивление R_г эквивалентного генератора, с учётом того, что по отношению к его зажимам 1-2 сопротивления R₁ R₂ включены параллельно, т.е.

R_г=R₁× R₂/(R₁+R₂)

R_г=10×12/(10+12) =5,45 Ом

3)По закону Ома находится ток I₃

I₃ =E_г/ (R_г+R₃)

I₃= 17,276/(5,45+15) = 0,84 A

Ответ: I₃=0,84 A

Метод узловых потенциалов.

1. Определяется напряжение U₁₂ между узлами 1 и 2 по выражению:

U₁₂ = (E₁ G₁ + E₂ G₂) / (G₁ +G₂ +G₃)

Определяем проводимости ветвей

G₁=1/R₁=1/10=0,1СМ;

G₂= 1/R₂ =1/12=0,083СМ;

G₃= 1/R₃ =1/15=0,066СМ

U₁₂= (15×0,1 +20×0,083)/(0,1+0,083+0,066) = 12,69 B

2) По закону Ома находится ток I₃

I₃ = U₁₂/R₃

I₃= 12,69 /15 = 0,84 A

Ответ: I₃ = 0,84 A

4. Метод суперпозиции.

1. Источник ЭДС Е₂ заменяется его внутренним сопротивлением (в рассматриваемой задаче приняты идеальные источники ЭДС, то есть их внутренние сопротивления равны 0)

Схема для определения частичного тока, создаваемого источника ЭДС Е₁:

2) Находится частичный ток I₃ c использованием правил определения эквивалентных сопротивлений при параллельном и последовательном соединении пассивных элементов и закона Ома.

а) эквивалентное сопротивление R₂₃ параллельно включенных сопротивлений R₁ и R₂

R₂₃ = R₂×R₃/(R₂+R₃) = 12×15/(12+15)= 6,67 Ом

Полное сопротивление цепи R_ц = R₁+R₂₃ = 10 + 6,67 = 16,67Ом

б) Ток I_I в неразветвленной части цепи:

I_I=E₁/R_ц = 15/16,67 = 0,899 А

в) напряжение на сопротивлении R₃

U₃ = U₂₃ =I₁× R₂₃

U₃ = 0,899×6,67 = 5,936 B

г) частичный ток I₃'

I₃' = U₃/R₃ = 5,936/15 = 0,396 A

3)Для определения частичного тока I₃'' расчет следует повторить, оставив в цепи только источник ЭДС Е₂.

а) эквивалентное сопротивление R₁₃ параллельно включенных сопротивлений R₁ и R₃

R₁₃ = R₁×R₃/(R₁+R₃) = 10×15\(10+15)= 6 Ом

Полное сопротивление цепи R_ц = R₂+R₁₃ = 12+6 = 18 Ом

б) Ток I₂ в неразветвленной части цепи:

I₂ = E₂/R_ц = 20/18 = 1,11 A

в) напряжение на сопротивлении R₃

U₃ = U₁₃= I ₂×R₁₃

U₃ = 1,11×6 = 6,66 B

г) частичный ток I₃''

I₃''= U₃/R₃ = 6,66/15 = 0,444 A

4) Действительный ток I₃

I₃ = I₃' + I₃''

I₃ = 0,396 + 0,444 = 0,84 A

Ответ: I₃ = 0,84 А