Раздел 3

Для данной схемы состоящей из источников ЭДС и тока, активных, индуктивных и ёмкостных сопротивлений:

1. Составить расчетную схему;

2. найти линейную частоту;

3. определить действующие значения токов во всех ветвях схемы и напряжения на всех комплексных сопротивлениях и каждом пассивном элементе;

4. определить полную, активную и реактивную мощности каждого источника электроэнергии и всех действующих в цепи источников;

5. составить баланс активных мощностей;

записать уравнения мгновенных значений ЭДС для заданной цепи

6. записать уравнения мгновенных значений ЭДС для источников ЭДС;

7. построить векторные диаграммы токов и напряжений.

R₁=20Ом; R₂=40Ом; R₄=50Ом; R₅=35Ом; R₆=20Ом;

L₁=100мГн;

L₃=40мГн;

C₅=125мкФ;

Еm₁=22,5 B ψ=60°; Еm₆=14B ψ=0°;

ω=500рад/с;

Jm₂=1,5A ψ=-75°

Решение:

1) Составление расчетной схемы:

2. Для определения линейной частоты f следует использовать связывающее её с угловой частотой ω соотношение

ω=2πf

f= ω/2π=500/2×3,14=79,6 рад/с

2. Расчёт токов в ветвях следует вести в изложенной ниже последовательности

а) сопротивление реактивных элементов

X_L= ω×L

X_C=1/ ω×С

X_L1= ω×L₄=500×100×10^-3=50Ом

X_L3= ω×L₄=500×40×10^-3=20Ом

X_C5=1/ ω×С₅=1/500×40×10^-6=50 Ом

б) заданные числа в комплексной форме

Z=R+j( X_L -X_C )

À=a-jb=Ae^jφ

=arctg(-20/15)=-53

A =

Z₁=R₁-jX_L1=20+j(50) = 53,9e^{j 68,2}

Z₂=R₂=40=40e^j0°

Z₃=R₃+j X_L3=j20=20e^{j 90}

Z₄=R₄=50=50e^j0°

Z₅=R₅-jX_C5=35-j(50) = 61e^{-j 55}

Z₆=R₆=20=20e^j0°

в) преобразуем источник тока J₂ в источник ЭДС E с внутренним сопротивлением Z₂

Em₂= J m₂Z₂=1,5*40=60e^j-75° /1.41=42.5 e^j-75=11,05-j41,2 В

Определяем действующие значения э.д.с.

E₁= Em₁/1,41=22,5/1,41 =15,96 e^j60°=7,98+j13.9 В

E₆= Em₆/1,41=14/1,41 =9.9e^j0° =9.9 В

Таблица 1-Результаты расчёта заданных величин и параметров схемы в алгебраической и показательной форме.

Величина	Алгебраическая форма	Показательная форма
Z1	20+j50	53.9ej68.2
Z2	40	40ej0°
Z3	J20	20ej90°
Z4	50	50ej0
Z5	35-j50	61e-j55
Z6	20	20ej 0
E1	7.98+j 13.9	16ej60°
E6	9.9	9.9ej0°
E2	11-j41.2	42,5 e-j75°

г) контурные уравнения для заданной расчётной схемы имеют вид

д) по найденным определителям вычисляем контурные токи:

А

А

А

е) по контурным токам определяем токи в ветвях цепи:

= = -0,421-j0,514=0,665e^-j129.32° А

= = 0,5+j0,235= 0.552e^j25.17° А

= =0,716+j0,276= 0,767e^j21.06° А

= =0,079-j0.279=0,29 e^{-j74.2 °} А

= =0,216+j0,041=0,22 e^{j 10,75°} А

= =0,295-j0,238= 0,379 e^-j38.82° А

ж) по найденным токам в ветвях и комплексным сопротивлениям находим комплексные ЭДС в ветвях цепи: Ė_Z= ×Z

Ė_Z1= ×Z₁=0,665e^-j129.32° ×53.9e^j68.2 = 35,84 e ^{-j 61,12°}=17,27-j31,38В

Ė_Z2= ×Z₂=0.552e^j25.17° ×40e^j0°= 22,08 e ^{j 25.17°}=19,98+j9,39 В

Ė_Z3= ×Z₃=0,767e^j21.06° ×20e^j90°=15,34 e^j111.06°= -5,51+j14,32 В

Ė_Z4= ×Z₄=0,29 e^{-j74.2 °} ×50e^j0° = 14,5 e^{-j 74,2°}=3,95-j13,95 В

Ė_Z5= ×Z₅= 0,22 e^{j 10,75°} ×61e^-j55° =13,42 e^-j44,25°=9,61-j9,36 В

Ė_Z6= ×Z₆=0,379 e^-j38.82° × 20e^j0° =7,58 e^-j38,82=5,9-j4,75 В

з) находим напряжения на каждом сопротивлении и их элементах по закону Ома U=J×R

U_R1= ×R₁= 0,665e^-j129.32°×20=13,3 e^-j129,32°= -8,43-j10,29 B

U_XL1= ×X_L1= 0,665e^-j129.32°×50e^j90= 33,25 e^-j39,32°=25,72-j21,07 В

U_R2= ×R₂= 0.552e^j25.17°×40=22,08 e^{j 25,17°}=19,98+j9,39 В

U_XL3= ×X_L3=0,767e^j21.06°×20e^j90 = 15,34 e^j111,06°= -5,51+j14,32 B

U_R4= ×R₄= 0,29 e^{-j74.2 °} ×50= 14,5 e^-j74,2=3,95-j13,95 В

U_R5= ×R₅= 0,22 e^{j 10,75°} × 35 = 7,7 e^{j 10,75°}=7,57+j1,44 B

U_Xc5= ×X_c5= 0,22 e^{j 10,75°} ×50 e^{-j 90°}= 11 e^{-j 79,25°}=2,05-j10,81 В

U_R6= ×R₆=0,379 e^-j38.82°×20 =7,58 e^-j38.82°=5,9-j4,75 B

Таблица 2-Результаты расчётов токов и напряжений.

Искомая величина		Алгебраическая форма	Показательная форма	Действующее значение
Токи ветвей, А		-0,421-j0,514	0,665e-j129.32°	0,665
		0,5+j0,235	0.552ej25.17°	0.552
		0,716+j0,276	0,767ej21.06°	0,767
		0,079-j0.279	0,29 e-j74.2 °	0,29
		0,216+j0,041	0,22 ej 10,75°	0,22
		0,295-j0,238	0,379 e-j38.82°	0,379
Напряжения на сопротивлениях, В	EZ1	17,27-j31,38	35,84 e -j 61,12°	35,84
	UR1	-8,43-j10,29	13,3 e-j129,32°	13,3
	UXL1	25,72-j21,07	33,25 e-j39,32°	33,25
	EZ2	19,98+j9,39	22,08 e j 25.17°	22,08
	UR2	19,98+j9,39	22,08 ej 25,17°	22,08
	EZ3	-5,51+j14,32	15,34 e j111.06°	15,34
	UXL3	-5,51+j14,32	15,34 ej111,06°	15,34
	EZ4	3,95-j13,95	14,5 e-j 74,2°	14,5
	UR4	3,95-j13,95	14,5 e-j 74,2°	14,5
	UR5	7,57+j1,44	7,7 ej 10,75°	7,7
	EZ5	9,61-j9,36	13,42 e-j44,25°	13,42
	UXc5	2,05-j10,81	11 e-j 79,25°	11
	EZ6	5,9-j4,75	7,58 e-j38,82	7,58
	UR6	5,9-j4,75	7,58 e-j38,82	7,58

3) Находим комплекс мощности S источника питания, как произведение комплекса ЭДС источника на сопряжённый комплекс тока J даваемое этим источником

S₁=E_Z1×J₁=35,84 e ^{-j 61,12°} ×0,665e^j129.32° =23,83 e^j68.2° ВА

P₁=S₁×cosφ=23,83 ×cos( 68,2)= 8,85 Вт

Q₁=S₁×sinφ=23,83 ×sin(68,2)= 22,126 вар

S₂=E_Z2×J₂=22,08 e ^{j 25.17°}×0.552e^-j25.17° = 12,188 e^j0° ВА

P₂=S₂×cosφ=12,188×cos(0)=12,188 Bт

Q₂=S₂×sinφ=12,188×sin(0)=0 вар

S₃=E_Z3×J₃=15,34 e ^j111.06°×0,767e^-j21.06°=11,766 e^j90° ВА

P₃=S₃×cosφ=11.766×cos( 90)=0 Bт

Q₃=S₃×sinφ=11.766×sin( 90)= 11,766 вар

S₄=E_Z4×J₄=14,5 e^{-j 74,2°}×0,29 e^{j74.2 °} = 4,205e^j0 ВА

P₄=S₄×cosφ=4,205×cos(0)= 4,205 Вт

Q₄=S₄×sinφ=4,205×sin(0)= 0 вар

S₅=E_Z5×J₅=13,42 e^-j44,25° ×0,22 e^{-j 10,75°}=2,952e^-j55 ВА

P₅=S₅×cosφ=2,952×cos(-55)= 1,693 Вт

Q₅=S₅×sinφ=2,952×sin(-55)= -2,418 вар

S₆=E_Z6×J₆=7,58 e^-j38,82×0,379 e^j38.82°=2,873 e ^j0

P₆=S₆×cosφ=2,873×cos(0)=2,873 Вт

Q₆= S₆×sinφ=2,873×sin(0)=0 вар

2. Для составления баланса активных мощностей определяем активную мощность потребляемую активными сопротивлениями

Р_потр=ΣI_n²R_n,

где I_n – действующее значение тока ветви, А;

R_n – активное сопротивление ветви, Ом.

P_потр=J₁²×R₁+J₂²×R₂+J₄²×R₄+J₅²×R₅+J₆²×R₆=0,665²×20+0,552²×40+0,29²×50+ +0,22²×35+0,379²×20=29,809Вт

отдаваемая мощность источниками ЭДС

P₁+P₂+P₃+P₄+P₅+P₆=8,85+12,188+0+4,205+1,693+2,873=29,809Вт

Потребляемая цепью активная мощность равна активной мощности, отдаваемой всеми источниками ЭДС, что свидетельствует о правильности проведенных расчётов.

5) уравнения мгновенных значений заданных ЭДС имеют вид:

e=E_msin(ωt+ψ), где

ω-угловая частота, ψ-начальная фаза каждой ЭДС

e₁=E_Z1×sin(500t+ψ)= 35,84×sin(500t-61,12) В

e₂=E_Z2×sin(500t+ψ)= 22,08×sin(500t+25,17) В

e₃=E_Z3×sin(500t+ψ)= 15,34×sin(500t+111,06) В

e₄=E_Z4×sin(500t+ψ)= 14,5×sin(500t-74,2) В

e₅=E_Z5×sin(500t+ψ)= 13,42×sin(500t-44,25) В

e₆=E_Z6×sin(500t+ψ)= 7,58×sin(500t-38,82) В

6) Построение векторной диаграммы:

Таблица 3- Длины векторов тока и напряжения, их действительных и мнимых частей

Величина		Масштаб, 1/см	Длина вектора, см	Длина действительной части, см	Длина мнимой части, см
Токи ветвей		mJ=0,1A/см	6,65	-4,2	-5,14
			5,52	5	2,35
			7,67	7,16	2,76
			2,9	0,79	-2,79
			2,2	2,16	0,41
			3,8	2,95	-2,38
ЭДС и напряжения	EZ1	mu=10 B/см	17,92	8,6	-15,7
	UR1		6,65	-4,2	-5,1
	EZ2		16,6	12,86	-10,5
	UR2		11	10	4,7
	EZ3		11	10	4,7
	UXC3		7,7	-2,6	7,2
	EZ4		7,7	-2,6	7,2
	UR4		7,25	1,8	-7
	UXL4		7,25	1,8	-7
	EZ5		6,7	4,8	-4,7
	UR5		3,9	3,8	0,7
	UXc5		5,5	1	-5,4
	EZ6		3,8	3	-2,4
	UR6		3,8	3	-2,4