4. Теорема Коши

Теорема 4. Пусть функции f (x) и g (x)

1. непрерывны на отрезке [a, b],

2. дифференцируемы, по крайней мере, на интервале (a, b),

3. g’(x) ≠ 0 на (a, b),

тогда существует такая точка с (a < c < b), что имеет место равенство

 = . (5)

Доказательство.

Прежде всего, докажем, что g (b) ≠ g (a).

Предположим обратное, пусть g (b) = g (a). Тогда для функции g (x) на [a, b] выполняются все условия теоремы Ролля, и, следовательно, существует точка с  (a, b), такая что g’(c) = 0, а это противоречит условию теоремы Коши.

Так как g (b)  g (a) ≠ 0, то мы можем рассмотреть следующую вспомогательную функцию:

F (x) = f (x)  f (a)    – (g (x)  g (a)).

Аналогично теореме Лагранжа можно доказать, что для функции F (x) выполняются все условия теоремы Ролля, согласно которой на интервале (a, b) найдется такая точка с, что F ´(c) = 0.

Так как F ´(x) = f (x)  g (x), то, найдя значение производной функции F (x) в точке с, и приравняв ее к нулю, получим формулу (5). 

§ 1.2. Правило лопиталя

1. Раскрытие неопределенностей вида и

Теорема 1. Пуcть

1) две функции y = f (x) и y = g (x) определены и дифференцируемы всюду в некоторой δ-окрестности точки а, за исключением, может быть, самой точки а,

2) g (x) ≠ 0 всюду в этой окрестности (за исключением точки а),

3) f (x) = g (x) = 0,

тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел , то существует и предел отношения самих функций , причем справедлива формула

= = K. (1)

Доказательство. Доопределим функции f (x) и g (x) в точке а, положив f (a) = g (a) = 0. Возьмем произвольное число х  (a  δ, a+ δ). Для определенности положим, что х > а. Тогда на отрезке [a, x] функции f (x) и g (x) будут непрерывны, дифференцируемы и g (x) ≠ 0 на интервале (a, x), следовательно, по теореме Коши, найдется точка с  (a, x) такая, что

 = .

Но, так как f (a) = g (a) = 0, то  = = . Перейдем в данном равенстве к пределу при x → a (так как точка a < с < x, то при x → a, с → а)

= = = K.



Замечание 1. Теорема справедлива и в том случае, когда для функций f (x) и g (x) условия теоремы выполняются в левосторонней (правосторонней) окрестности точки а.

Пример 1. Найти предел .

Решение.

Рассмотрим функции sinх и tgх. Эти функции удовлетворяют условиям теоремы 1:

1. функции sinх и tgх определены и непрерывны на интервале , содержащем точку 0;

2. sin x = tg x = 0,

3. (tg ax)´ = ≠ 0 на интервале ,

следовательно, по теореме 1

= = = .

Замечание 2. Предел отношения производных функций может и не существовать, в то время как предел отношения функций существует.

Пример 2. Найти предел .

Решение.

1. функции и sin х  определены и непрерывны на всей числовой прямой, за исключением точки 0, в которой не определена функция ;

2. так как х²  0 при х  0, а функция ограничена, то по свойствам бесконечно малых функций,  = 0, кроме того, sin x = 0;

3. существует окрестность точки 0, в которой (sin x)´ = cos x ≠ 0.

Но = . Предел от этого выражения при х  0 не существует, следовательно, теорему 1 применять нельзя. Попытаемся найти предел, не используя данную теорему.

=   = 10 = 0.

Замечание 3. Теорема 1 верна и в случае а = ±∞. Сформулируем теорему при а → +∞.

Теорема 2. Пусть

1) функции f (x) и g (x) дифференцируемы всюду на полупрямой (с, ∞),

2) g (x) ≠ 0 везде на данной полупрямой.

3) Пусть

f (x) = g (x) = 0,

тогда, если существует , то существует и предел отношения самих функций , причем справедлива формула

= = K. (1)

Замечание 4. Если производные f (x) и g (x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции f (x) и g (x), то правило Лопиталя можно применять повторно (т.е. предел отношения равен пределу отношения и т.д.).

Теорема 3. Пусть функции f (x) и g (x)

1) функции f (x) и g (x) определены и дифференцируемы в некоторой выколотой δ-окрестности точки а (х ≠ а),

2) g (x) ≠ 0 в этой окрестности,

2) пусть f (x) = g (x) = ,

тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел  = К, то существует и предел , причем справедлива формула

= = K.

Все замечания, сформулированные для случая неопределенности вида , могут быть перенесены на случай неопределенности .

Пример 3. Найти (α,   > 0).