Решение:
Найдем значения функции P(x) и ее производных до n-ого порядка включительно в точке x = 0.
P(0) = an
P´(x) = n(x + a)n 1, P´(0) = n an – 1,
P´´(x) = n(n 1)(x + a)n 2, P’’(0) = n(n 1) an 2,
P(k)(x) = n(n 1) … (n – (k – 1))(x a)n –k.,
P(k)(0) = n(n - 1) … (n – (k – 1)) an –k,
…
P(n)(x) = n!, P(n)(0) = n!.
Подставив эти значения в формулу (4), получим
(x
+ a)n
= an
+
an
– 1x
+
an
–2x2
+ … +
+ 
an
– kxk
+ …+ xn
=
an
– kxk
формула Маклорена для многочлена P(x) = (x + a)n. Эта формула носит название бином Ньютона.
2. Формула Тейлора для произвольной функции
Рассмотрим теперь произвольную функцию f (x), определенную на некотором промежутке Х. Пусть функция f (x) в точке а Х имеет производные до n-го порядка включительно: f ´(a), f ´´(a), … , f (n)(a).
Тогда, аналогично (3) для функции f (x) можно составить многочлен
Q (x)
=
f (а)
+
(x а)
+
(x а)2
+ …+
(x а)n.
Этот многочлен совпадает с функцией f (x) в точке а. Однако если функция f (x) не является многочленом n-степени, то f (x) Q (x). Представим функцию f (x) в виде
f (x) = Q (x) + Rn + 1(x) = f (а) + (x а) + (x а)2 + …+
+ (x а)n + Rn + 1(x), (5)
где Rn + 1(x) – величина, на которую отличается функция f (x) от многочлена Q (x).
Равенство (5) называют формулой Тейлора для функции f (x). Функция Rn + 1(x) называется остаточным членом разложения функции f (x) по формуле Тейлора.
Остаточный член Rn + 1(x) можно найти по следующим формулам:
Rn + 1(x)
= 
(x
- а)n + 1, (6)
Rn + 1(x)
=
(x
- а)n + 1(1
θ)n, (7)
где
0 < 
< 1.
Формула (6) называется остаточным членом в форме Лагранжа. Формула (7) называется остаточным членом в форме Коши.
Остаточные члены в формах Лагранжа и Коши используются, если требуется при фиксированных значениях х, отличных от a, приближенно вычислить значения функции f (x). Тогда функцию f (x) заменяют многочленом Qn(x) и оценивают погрешность, которая не превосходит |Rn + 1(x)| (если Rn + 1(x) → 0 при n → ∞, то функцию f (x) можно приблизить многочленом с любой точностью).
Однако иногда встречаются задачи, в которых не интересует величина ошибки, а лишь, как быстро она стремится к нулю при x→ a. В этом случае используется остаточный член в форме Пеано
Rn + 1(x) = o((x - a)n)
Если в (5) a = 0, то формула Тейлора называется формулой Маклорена. Разложение функции f (x) по формуле Маклорена имеет вид
f (x)
= f (0)
+
x
+ 
x2
+ … +
xn
+ Rn + 1(x), (8)
где
Rn+ 1(x)
=
xn
остаточный
член в форме Лагранжа,
Rn + 1(x)
=
xn + 1
(1 θ)n
остаточный
член в форме Коши,
Rn(x) = o(xn) остаточный член в форме Пеано.
4. Разложение элементарных функций по формуле Маклорена
1. Рассмотрим функцию у = ex.
Так как f (n)(x) = ex и f (n)(0) = 1, то формула Маклорена для этой функции имеет вид
ex
= 1
+
+ 
+ … +
+ Rn + 1(x), (9)
где остаточный член в форме Лагранжа задается формулой
Rn + 1(x)
=
eθx
(0 < θ < 1).
На любом отрезке [r, r] (r > 0) имеет место оценка остаточного члена
|Rn + 1(x)|
≤
er. (10)
2. y = sin x.
Найдем производные этой функции:
f ´(x)
= (sin
x)´
= cos x
=
sin
,
f ´´(x)
=
= cos
= sin
,
…
f (n)(x)
=
sin
.
Найдем значения производных функции в точке х = 0.
f (n)(0)
=
где k = 1, 2, … .
Формула Маклорена для данной функции записывается в виде
sin
x = x –
+ 
+ … +
(1)k + 1
+ R2k + 1(x).
(11)
Остаточный член в форме Лагранжа для функции y = sin x:
R2k+1(x)
=
x2k
+ 1,
(0 < θ < 1).
Так как функция y = sin x ограничена на всей числовой прямой, то для любого отрезка [-r, r] (r > 0) справедлива следующая оценка остаточного члена:
|R2k + 1(x)|
≤
. (12)
3. Аналогично можно найти разложение функции y = cos x:
cos x
= 1
–
+ 
+ … + (1)k 
+ R2k + 2(x),
(13)
где
R 2k+2(x)
=
x2k
+ 2,
(0 < θ < 1).
Для любого отрезка [-r, r] (r > 0) справедливо неравенство
R 2k+2(x)
=
.
4. у = ln (х + 1).
Поскольку
f (n)(x) = (1)
n 1
,
f (0)
= 0, f (n)(x)
= (1)
n 1(n 1)!,
то формула Маклорена имеет вид
ln (х + 1) =
x –
+ 
+ …
+ (1)n 1
+ Rn + 1(x),
(14)
Rn + 1(x) = 
(в форме Лагранжа), (15)
Rn + 1(x) = 
(в форме Коши). (16)
5. Рассмотрим функцию y = (1 + x)α. Найдем производные функции
f ´(x) = (1 + x)α 1,
f ´´(x) = ( 1)(1 + x)α 2,
…
f (n)(x) = α(α – 1) … (α – (n 1))(1 + x)α – n.
Так как f (0) = 1, f (n)(x) = α(α – 1) … (α – (n - 1)), то
(1
+ x)α
= 1 + х
+ 
х2 + … + 
хn + Rn + 1(x),
(17)
где
Rn + 1(x)
=
(1
+ θx)α
(
n +1) xn
+ 1,
(0 < θ < 1).