16. Множення і ділення додатних раціональних чисел. Закони множення цих чисел. Методика навчання розв’язування задач на зведення до одиниці.

Множення раціональних чисел  Для того ,щоб помножити два дроби необхідно чисельник помножити на чисельник, знаменник на знаменник.

Щоб поділити раціональні числа необхідно, дільник поміняти на обернений дріб і виконати дію множення.

Тільки при множенні дроби можна скорочувати на їх НСД. Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на довільне натуральне число, або розділити їх на довільний спільний дільник, то дістанемо дріб, що дорівнює даному. На цій властивості ґрунтується скорочення дробів і зведення дробів до спільного знаменника.

Методика

Методикою формування в молодших школярів умінь розв'язувати задачі на подвійне зведення до одиниці передбачено ознайомлення дітей з двома математичними структурами цих задач: спрощеною – в якій дана або є шуканою величина подвійної одиниці (3-й клас) та дещо ускладненою – коли величина подвійної одиниці невідома, але не є шуканою (4-й клас). Нами запропоновано новий підхід, коли задача на подвійне зведення до одиниці вводиться як поєднання двох послідовних простих задач. В результаті виконання роботи над системою навчальних задач, де передбачено, по-перше, дослідження задачі: через зміну величин задачі; через зміну числових даних задачі; через зміну шуканого задачі і, по-друге, визначення впливу цих змін на математичну структуру та план розв'язування задачі, – узагальнюються істотні ознаки та план розв'язування задач даного виду.

Нами встановлено доцільність подальшого дослідження задачі на подвійне зведення до одиниці через зіставлення із задачами на знаходження четвертого пропорційного (однаковою є величина однієї одиниці виміру або лічби). В результаті такого зіставлення учні визначають спільне у математичній структурі та у способі розв'язування цих задач

17. Поняття рівняння з однією змінною. Рівносильні рівняння. Теореми про рівносильні рівняння. Методика навчання розв’язування задач на рух.

Рівняння з однією змінною Якщо взяти два вирази зі змінними і з’єднати їх знаком «=», то отримаємо речення . Воно містить змінну х. Якщо замість змінної х підставити певні значення, то речення перетвориться у висловлення, які можуть бути істинними або хибними. Так, якщо х = 4, то висловлення істинне; якщо х = 3, то висловлення хибне. Тому речення є висловлювальна форма. Означення. Нехай f х і g x – два вирази зі змінною х і областю визначення X. Тоді висловлювальна форма виду f х = g x називається рівнянням з однією змінною. Значення змінної х із множини X, при якому рівняння перетворюється у істинну числову рівність, називається коренем або розв’язком рівняння. Розв’язати рівняння – значить знайти множину розв’язків коренів рівняння. Щоб розв’язати рівняння, його перетворюють, використовуючи теореми про рівносильність рівнянь або тотожні перетворення виразів.

Рівносильність рівнянь Два рівняння, множини розв’язків яких на певній множині М збігаються, називаються рівносильними. Наприклад, рівняння і рівносильні на множині R, бо множина коренів першого рівняння {1} і множина коренів другого рівняння{1},тобто множини коренів рівні. Теорема 1. Нехай рівняння f х = g x задано на множині Х і h х – вираз, який визначений на тій же множині Х. Тоді рівняння і дане рівняння f х = g x рівносильні. Доведення. Нехай Т1 множина розв’язків рівняння 1, а Т2 множина розв’язків рівняння 2. Покажемо, що множини коренів рівні. Нехай число а є коренем рівняння 1. Тоді і при підстановці у рівняння 1 обертає його у істинну числову рівність: f а = g а, а вираз h х у числовий вираз . Додамо до обох частин рівності f а = g а вираз . Отримаємо істинну числову рівність , а це означає, що а є коренем рівняння 2. Отже, кожен корінь рівняння 1 є коренем рівняння 2. Аналогічно можна показати, що кожен корінь рівняння 2 є коренем рівняння 1. За доведенням і дані рівняння рівносильні. Теорема 2. Нехай рівняння f х = g x задано на множині Х і h х – вираз, який визначений на тій же множині Х і який не перетворюється на нуль ні при яких значеннях х із множини Х. Тоді рівняння і дане рівняння рівносильні. Доведення аналогічне до доведення першої теореми. При розв’язуванні рівнянь частіше використовуються не самі теореми, а наслідки з них.

Наслідки з теорем про рівносильність рівнянь До теореми 1 1. Якщо до обох частин рівняння додати одне й те саме число, то дістанемо рівняння, рівносильне даному. 2. Якщо в рівнянні перенести доданок з однієї частини в другу, змінивши його знак на протилежний, то дістанемо рівняння, рівносильне даному. До теореми 2 3. Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне і те саме число, відмінне від нуля, то дістанемо рівняння, рівносильне даному. Методика:Підготовча робота до розв'язування задач на рух передбачає узагальнення уявлень ДІТЕЙ про рух; ознайомлення з новою величиною - швідкістю, Розкриття зв'язків Між величинами: швідкість, годину, відстань. Для узагальнення уявлень ДІТЕЙ про рух корисностей проводять спеціальну екскурсію для спостереження за рухом транспорту, після Чого організовують спостереження за рухом в умів класу.

Під годину роботи над завданнями на рух можна віділіті Такі Основні Поняття: зустрічній рух (швідкість збліження; годину збліження); рух у протилежних напрямки (швідкість віддалення; годину віддалення); рух в одному напрямі (швідкість збліження (віддалення); годину збліження (віддалення)); рух за течією чі проти течії (власна швідкість плавзасобу; Його швідкість за течією; проті течії; швідкість збліження і час збліження; швідкість віддалення і час віддалення); рух по колу (швідкість збліження (віддалення) Під годину руху в одному и протилежних напрямки); середня швідкість руху (середня аріфметічна величина; середня швідкість).

Чімалі труднощі Під годину розв'язування задач на рух у середніх та старших класах визначаються недостатня робота над данім типом задач у початковій школі. Однією з причин цього є недостатня сформованість у початкових класах зрозуміти про величини (годину, відстань, швідкість) та їх пропорційну залежність.