2.3. Зворотна модель

Зворотна функція регресії має вигляд :

, ( 19 )

а модель :

, ( 20 ) де β₀ і β₁ – параметри моделі.

Особливістю функції (19) є те, що при залежна змінна моделі упрямує до свого граничного значення β₀ ,тобто функція ( 19 ) має асимптоту β₀. Внаслідок цього функція ( 19 ) застосовується для моделювання економічних явищ і процесів, обмеженихзверху або знизу. Найбільш поширеним застосуванням таких моделей є кількісний опис залежності попиту на блага y від доходу x (криві Торнквіста) , а також залежності зміни заробітної плати y від рівня безробіття x (крива Філіпса).

Графік зворотної функції значною мірою залежить від значень і знаків параметрів β₀ і β₁ . Вигляд графіків зворотноїфункції при різних значеннях і знаках параметрів β₀ і β₁наведено на рис. 2.

Як видно з ( 20 ) зворотна модель відноситься до квазілінійних моделей, оскільки може бути поданою у вигляді ( 1 ). У зв’язку з цим лінеаризація зворотної моделі здійснюється простою заміною змінної: . Після підстановки в ( 20 ) нової змінної отримуємо наступну модель парної лінійної регресії :

. ( 21 )

y

y

y

β₀

β₀<0

β₁>0

β₀>0

β₁>0

β₀>0

β₁<0

β₀

0

x

x

x

0

0

-β₀

0

Рис. 2. Графіки зворотної функції

2.4. Квадратичні моделі

Квадратичні моделі використовуються для опису дуже широкого спектру економічних процесів завдяки їхнім універсальним можливостям. У загальному випадку квадратична модель має вигляд:

, ( 22 )

де β₀,β₁і β₂– параметри моделі.

В залежності від знаків і значень параметрів моделі вона може відображати еволюцію – дуже різну на різних проміжках інтервалу зміни незалежної змінної х: зростання, спад, зростання з наступним спадом, спад з наступним зростанням. Так н-д, квадратична модель може описувати кількісну залежність між обсягом випуску і середніми або граничними видатками, чи між витратами на рекламу і прибутками і т.і. Можливі варіанти графіків квадратичної ф-ї мають наступний вигляд

y

y

β₂<0

β₂>0

x

x

Рис. 3. Графіки квадратичної функції

Квадратична модель , як і зворотна, також відноситься до квазілійних і її лінеаризація виконується шляхом елементарної заміни змінних , і зведенням її до двохфакторної лінійної регресії :

, ( 23 )

параметри якої розраховуються за відомою методикою для лінійних економетричних моделей.