3. Частные производные.

Пусть z=f(x,y). Зафиксируем какую-либо точку (x,y), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y, придадим аргументу x приращение  . Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается   и определяется формулой  .

Аналогично, если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение  , то z получает частное приращение z по y, .

Определение. Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения  по x к приращению  при стремлении   к нулю, т.е.

Частная производная обозначается одним из символов .

Аналогично определяется частная производная по y:

                                  .

Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.

Пример. Найти частные производные функции z=x²e ^x-2y.

Решение.

Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично.

Функции нескольких переменных. Основные определения и свойства.

     Рассматривается  множество  . Если определено правило, по которому каждой точке   ставится в соответствие некоторое число   (единственным образом), то говорят, что на множестве D определена (однозначная) функция  . Как обычно, множество D называется областью определения функции, а множество всех соответствующих значений u: Q= {u} – множеством значений. Часто функцию u = F(x) называют отображением 

При n = 2  уравнение F(x,y) = C задает линии уровня  поверхности z = F(x,y), а при n = 3 уравнение  F(x,y,z) = С – поверхности уровня.

Задание ФНП может быть неявным: F(x,u) = 0 или  параметрическим    .                                            

Примеры .Поверхности 2 – го порядка.

     Как и в случае одной переменной, определяется предел ФНП:

    

Вместо условия   можно писать  .

Справедливы все общие свойства пределов: арифметические свойства, переход к пределу в неравенствах и т.д.

   Тем не менее, понятие предела ФНП оказывается более сложным за счет того, что стремление т. х  к  х^о  может осуществляться большим числом способов, нежели в случае одной переменной.

Геометрический смысл функции 2-х переменных очень прост. Если функции одной переменной   соответствует определённая линия на плоскости (например,    – всем знакомая школьная парабола), то график функции двух переменных   располагается в трёхмерном пространстве. На практике чаще всего приходится иметь дело споверхностью, но иногда график функции может представлять собой, например, пространственную прямую (ые) либо даже единственную точку.

С элементарным примером поверхности мы хорошо знакомы ещё из курса аналитической геометрии – это плоскость  . Предполагая что  , уравнение легко переписать в функциональном виде:

Дифференциалы высших порядков.

Определение 1. Дифференциал от первого дифференциала функции называется вторым дифференциалом:   Аналогично определяются дифференциалы более старших порядков.

   Вычислим второй дифференциал функции двух переменных  . При этом будем считать, что дифференциалы независимых переменных  dx  и  dy – величины постоянные (т.е. не зависят от т.(х,у) и не меняются при вычислении каждого последующего дифференциала).

.

Не трудно видеть, что второй дифференциал представляет собой квадратичную форму от

переменных  dx  и  dy. Матрица этой квадратичной формы есть матрица Гессе, т.е.

d²z = (dx,dy)Г(dx,dy)^T   (см. раздел «Линейная алгебра», квадратичные формы). Кроме того,

второй дифференциал можно записать в символическом виде: 

Можно показать, что в общем случае дифференциал  2 – го порядка функции  u = F(x) равен 

 Дифференциал  m – го порядка равен    

 Производная по направлению. Градиент.

   Рассматривается функция   и единичный вектор   . Проводится прямая  l  через т.М₀ с направляющим вектором   

                                                  

Определение 1. Производная функции u = u(x, y, z) по переменной  t  называется  производной по направлению  l 

Так как на этой прямой  u  – сложная функция одной переменной, то производная по  t равна полной производной по  t  (§ 12).

Она обозначается    и равна   

Определение 2. Градиентом функции  u(х₁,х₂,…,х_n)  называется вектор, координаты которого равны частным производным функции u :   

В нашем случае  Таким образом, производная по направлению равна:

, где  φ − угол между направляющим вектором прямой и градиентом функции в данной точке. Отсюда следует геометрический и физический смысл градиента функции (необходимо помнить, что  скорость изменения функции вдоль прямой l ):

1.      Градиент ортогонален касательной плоскости к поверхности уровня в данной точке.

2.      Градиент направлен в сторону максимального роста (изменения) функции в т.М₀ . 

{Этот максимум достигается при  φ = 0, т.е. при  }

3.      Величина наибольшей скорости роста функции равна   .

Определение и свойства неопределенного интеграла

         Определение. Функция   называется первообразной функции  , если  .

         Теорема. Если   и   две первообразные одной и той же функции  , то  они отличаются не более, чем на константу, то есть  .

         Следствие. Если   - одна из первообразных функции  , то любая другая первообразная имеет вид  .

         Определение. Совокупность всех первообразных функции   называется неопределенным интегралом от   и обозначается  .

           называется подынтегральной функцией, а   - подынтегральным выражением.

         Таким образом, окончательно

.

         Свойства неопределенного интеграла.

         1.  ;

         2.  ;

         3.  ;

         4.  .