1. Выделить полный квадрат в знаменателе
2. Свести интеграл к интегралу вида
Пример:
1. выделяем полный квадрат в знаменателе
2.
вводим новую переменную 
,
тогда
3.
2. 
Алгоритм интегрирования
1. Выделить полный квадрат в знаменателе, т.е. представить в виде
2.
Ввести новую переменную 
и
подставить 
в
числитель и поделить числитель почленно
на знаменатель. Тогда интеграл распадается
на сумму двух интегралов один из которых
будет предыдущего вида, а другой вида
Интегрирование тригонометрических функций.
Множество задач сводится к нахождению интегралов трансцендентных функций, содержащих тригонометрические функции. В данной статье сгруппируем наиболее часто встречающиеся виды подынтегральных функций и на примерах рассмотрим методы их интегрирования.
Начнем с интегрирования синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Из
таблицы первообразных сразу заметим,
что 
и 
.
Метод
подведения под знак дифференциала позволяет
вычислить неопределенные интегралы
функций тангенса и котангенса:
Поясним, как были найдены формулы
и
,
находящиеся в таблице первообразных.
Разберем первый случай, второй абсолютно аналогичен.
Воспользуемся методом
подстановки:
Пришли
к задаче интегрирования
иррациональной функции.
Здесь нам также поможет метод
подстановки:
Осталось
провести обратную замену 
и t
= sinx:
Отдельно хочется остановиться на интегралах, содержащих степени тригонометрических функций, вида
.
Подробно
о принципах их нахождении можете
ознакомиться в разделеинтегрирование
с использованием рекуррентных формул.
Если изучите вывод этих формул, то без
особого труда сможете брать интегралы
вида 
,
где m и n –
натуральные числа.
Когда тригонометрические функции идут в комбинациях с многочленами или показательными функциями, то применяется метод интегрирования по частям. В этом разделе даны рекомендации для нахождения интегралов
, 
.Максимум творчества приходится вкладывать, когда подынтегральная функция содержит тригонометрические функции с различными аргументами.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона Лейбница
До сих
пор мы рассматривали определенный
интеграл с постоянными пределами
интегрирования a и b.
Пусть функция f(x)
интегрируема на отрезке [a, b].
Если 
,
то функция f(x)
также интегрируема на любом отрезке
[a, x].
Если изменять верхний предел, не выходя
из отрезка [a, b],
то величина интеграла будет изменяться,
т. е. интеграл 
с
постоянным нижним пределом a и
переменным верхним пределом x есть
функция верхнего предела. Обозначим
эту функцию Ф(x):
. (8)
Замечание. Для удобства переменная интегрирования здесь обозначена буквой t, так как буквой x обозначен верхний предел интегрирования.
Интеграл (8) называется интегралом с переменным верхним пределом.
Сформулируем основную теорему дифференциального и интегрального исчисления, устанавливающую связь между производной и интегралом.
Теорема 3
Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т. е.
. (9)
Эта
теорема утверждает, что любая непрерывная
функция на отрезке [a,b]
имеет на нем первообразную, причем этой
первообразной является функция Ф(x),
а так как всякая другая первообразная
функции f(x)
может отличаться от данной Ф(x)
лишь на постоянную, то устанавливается
связь между неопределенным и определенным
интегралом 
.
Теорема 4
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то
, (10)
где F(x) некоторая первообразная функции f(x).
Формула (10) называется формулой Ньютона Лейбница.
Формулу Ньютона Лейбница можно переписать как
,
где 
.
Вывод.
Определенный интеграл 
от
непрерывной функции f(x)
равен разности значений любой первообразной
для верхнего и нижнего пределов
интегрирования.
Формула Ньютона Лейбница открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, так как задача сводится к задаче вычисления неопределенных интегралов.
П
р и м е р 2. Вычислить
интеграл 
.
Решение. 
.
Если считать переменным нижний предел интегрирования, то пользуясь формулой Ньютона Лейбница, получим
или
. (11)
Теорема 5
Если f(x) непрерывная, φ(x), ψ(x) дифференцируемые
функции, то производная от интеграла 
по переменной x
,
т. е.
. (12)
П
р и м е р 3. Найти
производную по x от
интеграла 
.
Решение.
Здесь 
; 
; 
; 
; 
. φ΄(x)
= 2x 
.
Пользуясь формулой (12), получим
Несобственные интегралы:
Математический анализ – общеобразовательная математическая дисциплина, объектом изучения которой является большая область математики, связанная с понятиями функций, производной и интеграла. Дисциплина «Математический анализ» отражает важное направление развития современной математики. В ней рассматриваются вопросы, связанные с методами вычислений, что важно для нашей специальности. Интегральное исчисление, раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов
и их приложения. Интегральное исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа (или анализа бесконечно малых). Центральными понятиями интегрального исчисления являются понятия определённого интеграла и неопределённого интеграла функций одного действительного переменного. Так же не малую роль играет понятие кратные интегралы.
Кратный интеграл - интеграл от функции нескольких переменных. Определяется при помощи интегральных сумм, аналогично определённому интегралу от функции одного переменного. В зависимости от числа переменных различают двойные, тройные, n-кратные интегралы. Так же существуют кратные несобственные интегралы. И целью моей курсовой работы является раскрыть один из разделов кратных интегралов – кратные несобственные
интегралы. 1. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть G – область в Rn, функция f: G R, интеграл не существует из-за того, что либо область G не ограничена, либо функция f не ограничена в области G, либо и то, и другое, но на каждом замкнутом кубируемом подмножестве функция f интегрируема по Риману. При выполнении всех перечисленных выше условий (1) будем называть несобственным кратным интегралом.