1.Теор.Коши, интегральный признак коши

Т: (пр Коши) ↓ дан ряд Ʃun с полож чл и сущ предел lim(un)^1/n=С, тогда 1) ряд сх при С˂1, 2) ряд расх при С˃1.

Т: (интегр пр Коши) ↓ ф-я f(x) на пром-ке [1,+∞) удовл усл:1)полож 2)убывает 3)непрерывна. Тогда ряд Ʃ f(n) и несобств инт ʃ f(x)dx одновр сход, либо одновр расх

2.Опр:точки максимума и минимума,точки

экстремума,стационарные и критические точки

О: Т (x0;y0) наз т max (min) ф z=f(x,y), if сущ окрестность т (x0;y0) такая, что для all т(x,y) из этой окр-ти вып-ся нерав-во: f(x0;y0)≥ f(x,y) (f(x0,y0)≤ f(x,y))

О: Max или min ф z=f(x,y) наз ее экстремумом, а т, в j ф имеет экстр наз т экс-ма.

О: Т, в j все частные произв 1го пор ФНП =0 наз стационарными.

О: Т, в j все частн произв 1го пор ФНП=0 или не сущ хотя бы одна из них наз критическими

3.найти экстремумы:z=y^2-x^2+xy-2x-6y

6 Билет

1) Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница

О: Знакочеред рядом наз ряд, в j член попеременно то полож, то отриц, те ряд вида u1-u2+u3-u4+…+(- 1)^n+1*un+…=Ʃ(-1)^n+1*un, где un˃0

Т: (пр Лейбница сход знакочеред ряда) Знакочеред ряд сход if абсол велич его чл монотонно убыв, а общ чл стремится к 0, те вып-ся 2 усл: 1) u1˃u2˃u3˃… 2)lim un=0

2)Условный экстремум. Необходимое условие условного экстремума

О: Условным экс ф z=f(x,y) наз экс этой ф, достигнутый при усл, что перем х и у связаны м/у собой уравнением связи: µ(х,у)=0

Т.(необх усл усл-го экс) Т экс ф z=f(x,y) удовл сист из 3х ур-й: ∂L/∂x=∂f/∂x+λ*∂µ/∂x=0 ∂L/∂y=∂f/∂y+λ*∂µ/∂y=0 ∂L/∂λ=µ(x,y)=0, где L(x,y,λ)=f(x,y)+λµ(x,y)

3)Область определения z = ln(xy)+

Билет 7.

1.определение знакоперем.ряда.Абсолютно сходящийся,условно сходящийся.

О: Ряд с чл произвольных знаков наз накопеременным.

Т: (пр сход знакоперем ряда) If ряд Ʃ│un│сход, то сход и ряд Ʃun.

О: Знакоперем ряд наз абсолютно-сходящимся, if сход ряд из абсол величин его чл

О: Знакоперем ряд наз условно- сход-ся, if он сх, а ряд из абсол вел его чл расх.

2. Теорема о существовании двойного интеграла, геометрический смысл двойного интеграла.

Т(о сущ ДИ):If ф z=f(x,y) непрер в замкн обл D, то ДИ от этой a по данной обл сущ.

Геом смысл ДИ:1) Объем V цилиндр-го тела с основанием D и ограниченного сверху пов-ю z=f(x,y). V=∫∫f(x,y)dxdy.

З: A z=f(x,y) дб неотриц и непрер в обл D.

2) Пл-дь S плоской области D s=SSdxdy

3. сумма по н от 1 до бесконечности от дробь: в числителе н факториал.в знаменателе 10 в степени н.

билет 8. 1.степенной ряд, область сходим. степен. ряда, теорема Абеля и следствие из нее

О:Ряд вида a0+a1x+a2x^2+…+anx^n+…=Ʃ anx^n (0-∞) наз степен рядом, а числа а0, а1…аn,…наз кэфф-ми степ ряда. Степ рядом наз-ют также ряд Ʃ an(x-a)^n, где а некот постоян число, а ряд сводится к Ʃ ant^n путем замены перем х-а=t

О: Мн-во знач перем х, при j-х степ ряд сход, наз областью сход степ ряда.

Т (Абеля) If степ ряд Ʃ anx^n (0-∞) сход при некот знач х0≠0, то он сход (и при том абсолютно) при всяком знач х, удовл нер-ву │х│˂│х0│

След из Т. Абеля: Сущ такое число R, что при │х│˂R ряд сход, а при │х│˃R-расх. При этом R наз радиусом сход-ти, а инт (-R,R)-инт сход степ ряда Ʃ anx^n. 2. Вычисление ДИ в декартовой системе координат

Вычисление ДИ в декарт сист к-т.2 основных вида обл инт-ия: 1) обл инт-я D ограничена слева и справа х=а, х=b, (a<b), а снизу и сверху – непрер кривыми у=µ1(х), у=µ2(х), [µ1(х)≤µ2(х)], кажд из кот пересек-ся вертик прямой только в одной т

Для такой обл ДИ вычисляется по формуле ∫∫f(x,y)dxdy=∫dx∫f(x,y)dy (a-b, µ1(х)-µ2(х)) (1), где сначала вычис-ся внутр инт ∫f(x,y)dy, в кот х счит-ся постоянным.

2)Область инт-ия D ограничена снизу и сверху прямыми у=с и у=d, (с<d), а слева и справа непрерывными кривыми х=ψ1(у), х=ψ2(у), [ψ1(у)≤ψ2(у)], кажд из кот перес-ся горизонт прямой только в одной т.

Для такой обл ДИ вычисляется по формуле ∫∫f(x,y)dxdy=∫dу∫f(x,y)dх (с-d, ψ1(у)-ψ2(у)) (2), причем сначала вычисл внутр инт, в кот у счит-ся пост-й.

3. у' + у=е в степени -2х

Вариант 9. 1) Нахождение радиуса сходимости степенного ряда

1)Частн. Сл.: If среди коэф ряда а1..аn,… нет равных 0, те ряд сод-т все целые полож степени х, то R нах-т по формуле R=lim │an/an+1│(n→∞) при усл, что этот lim сущ

2)Общ сл.: If среди коэф ряда есть =0, то инт сход можно нах-ть, применяя признак Даламб или пр Коши к ряду, составленному из абсол вел членов исход ряда.

З: If R=0, то ряд Ʃ anx^n (0-∞) сход лишь при х=0. If R=∞, то ряд сход на всей числ прямой.

2)Определение частного приращения функции 2-х переменных.Определение частной производной функции 2-х переменных.Правила дифференцирования.

Производные и диффренциалы ф-ий нескольких перем

О: Разности ∆xz=f(x+∆x,y)-f(x,y) ∆yz=f(x,y+∆y)-f(x,y) наз частным приращением ф z= f(x,y) в т М(х,у) по перем х и у соотв-но.

О: Частной производ ф z= f(x,y) по перем х наз предел отнош част приращ ф по перем х к приращ ∆х, когда ∆х→0 ∂z/∂x=lim ∆xz/∆x

Правила дифф-я: 1)для част произв справедливы обычные правила и формулы дифф-ия 2) при вычисл част произв ф-й неск перем по к/л одной перем, др перем счит-ся постоянными.

3)∑(1+n/1+n^2)^2  (n=1 до ∞)

Билет 10