- •1 Билет
- •1. Определение геометрического ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). Теорема (о погружении дискретного аргумента (n) в непрерывный (X).
- •2. Определение функции нескольких переменных. Определение множества значений фнп. Определение графика функции. Определение линии уровня.
- •3. Исследовать ряд на сходимость
- •2) Определение ду, обыкновенное и ду в частных производных, порядок и решение;
- •4 Билет
- •1.Второй предельный признак сравнения. Признак Даламбера
- •6 Билет
- •1.Теор.Коши, интегральный признак коши
- •2.Опр:точки максимума и минимума,точки
- •1) Определение ряда Тейлора. Определение ряда Маклорена.
- •2) Определение линейного ду первого порядка.
- •1. Ряд тейлора (теорема)
- •2. Условный экстремум, необходимое условие условного экстремума
- •1)Определение полного дифференциала. Дифференцируемость ф-ции 2 переменных в точке.(определение и теорема).
- •2)Уравнение Бернулли (определение и метод решения).
- •1) Дифференцирование сложных функций (2 теоремы и замечание)
- •2) Частные случаи ду 2го порядка, метод решения
- •1.Необходимое и достаточное условие экстремума.
- •1)Определение двойного интеграла от функции двух переменных. Замечание по символическому обозначению ди. Теорема о существовании ди
- •2) Достаточное условие экстремума функции двух переменных(теорема)
- •1.Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат;
- •1) Числовые ряды. Частичная сумма числовых рядов. Сходимость числового ряда и суммы числового ряда.
- •2) Виды правых частей линейного неоднородного
- •1.Геом ряд.Теорема о погружении и т о достаточном условии чего-то там из той же лекции
- •2.Вычисление ди в декартовой системе
- •1) Теорема Коши.Интегр-й признак Коши
- •1. Второй предельный признак сходимости. Признак Даламбера.
- •2. Точка Максимума,минимума функции двух переменных,экстремум,стационарные и критические точки.
- •1. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница
- •2. Линейный ду 1-ого порядка. Однородные и неоднородные. Общие их решения.
- •1)Определение двойного интеграла от функции двух перем
- •2)Определение и метод решения полного дифферинциала
- •1)Определение окрестности точки на плоскости Определение предела ф-ии двух переменных
- •1)Основные свойства двойного интеграла;
- •2)Метод математической индукции
- •1.Ди в полярной системе координат
- •2.Однородное ду 1-го порядка (метод решения, замечание)
- •3.Стационарные точки
- •41 Билет
- •1)Определение непрерывности в точке функции двух переменных . Определение точки разрыва функции двух переменных.
- •2) Определение однородной функции степени n. Однородное ду первого порядка ( определение, представление в виде уровня в дифференциалах ( замечаний и метод решения)
- •1. Определение двойного интеграла для функции двух переменных. Замечание о символах двойного интеграла. Теорема о существовании двойного интеграла.
- •2. Виды правых частей линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 порядка и соответствующие виды частных решений.
- •1. Окрестность точки на плоскости. Предел функции нескольких переменных.
2. Линейный ду 1-ого порядка. Однородные и неоднородные. Общие их решения.
О: Ур вида y’+p(x)y=f(x) (1) наз линейным ДУ 1го пор.
О: If f(x)≡0, то ур (1) наз лин однор-м. If f(x) ≢0, то ур (1) наз лин неоднор ур.
Общ реш лоу y’+p(x)y=0 получ-ся с help разделения перем(те дан ур явл ДУ с раз-щимия перем)
Общ реш лну (1) можно найти, исходя из общ реш соотв однор ур методом вариации произвол пост(методом Лагранжа). Сущность этого методо сост в том, что в общ реш у=µ(х,С) соотв-го однор ур произв пост С замен-ся на new неизвест ф С(х), j нах-ся путем подстановки ф-й у=µ(х,С(х)) в ур (1).
3. Исследовать сходимость ряда сумма по n от 1 до бесконечности 10^n x^n, а в знаменателе корень из n
Билет 3…
1)Определение двойного интеграла от функции двух перем
замечание по символическому обозначению двойного интеграла
О:Двойным интегралом (ДИ) от ф z=f(x,y) по обл D наз предел ее интегр суммы In при стремлении мах-го из диаметров элементарных областей к 0, if этот предел сущ и конечен и не зависит от способа разбиения обл D на элементарные области Di и способа выбора точек Pi каждой из них. При этом пишут: ∫∫f(x,y)dƍ=limΣf(xi,yi)Δƍi (под ∫ D, под lim max di→0), при этом называют: f(x,y)-отынтегральной ф-ей, D-обл-ю инт-ия, х,у-перем инт-я
З! для обознач двойн инт-ла каряду с симв SSd∂(под s D) исп-ся также и символ SSdxdy(под s D)..
Т(о сущ ДИ):If ф z=f(x,y) непрер в замкн обл D, то ДИ от этой a по данной обл сущ.
2)Определение и метод решения полного дифферинциала
О:Полным дифф-лом ф z= f(x,y) наз сумма произведений част произв этой ф на приращ независ перем, те dz=∂z/∂x*∆x+∂z/∂y*∆y – основная ф-ла для полного диф-ла ф 2х перем
3) y’=y/(x+y)
Билет №31 1)Определение степенного ряда. Определение области сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Следствие из теоремы Абеля.
О:Ряд вида a0+a1x+a2x^2+…+anx^n+…=Ʃ anx^n (0-∞) наз степен рядом, а числа а0, а1…аn,…наз кэфф-ми степ ряда. Степ рядом наз-ют также ряд Ʃ an(x-a)^n, где а некот постоян число, а ряд сводится к Ʃ ant^n путем замены перем х-а=t
О: Мн-во знач перем х, при j-х степ ряд сход, наз областью сход степ ряда.
Т (Абеля) If степ ряд Ʃ anx^n (0-∞) сход при некот знач х0≠0, то он сход (и при том абсолютно) при всяком знач х, удовл нер-ву │х│˂│х0│
След из Т. Абеля: Сущ такое число R, что при │х│˂R ряд сход, а при │х│˃R-расх. При этом R наз радиусом сход-ти, а инт (-R,R)-инт сход степ ряда Ʃ anx^n. 2)Вычисление ДИ в декартовой сисетеме координат
Вычисление ДИ в декарт сист к-т.2 основных вида обл инт-ия: 1) обл инт-я D ограничена слева и справа х=а, х=b, (a<b), а снизу и сверху – непрер кривыми у=µ1(х), у=µ2(х), [µ1(х)≤µ2(х)], кажд из кот пересек-ся вертик прямой только в одной т
Для такой обл ДИ вычисляется по формуле ∫∫f(x,y)dxdy=∫dx∫f(x,y)dy (a-b, µ1(х)-µ2(х)) (1), где сгачала вычис-ся внутр инт ∫f(x,y)dy, в кот х счит-ся постоянным.
2)Область инт-ия D ограничена снизу и сверху прямыми у=с и у=d, (с<d), а слева и справа непрерывными кривыми х=ψ1(у), х=ψ2(у), [ψ1(у)≤ψ2(у)], кажд из кот перес-ся горизонт прямой только в одной т.
Для такой обл ДИ вычисляется по формуле ∫∫f(x,y)dxdy=∫dу∫f(x,y)dх (с-d, ψ1(у)-ψ2(у)) (2), причем сначала вычисл внутр инт, в кот у счит-ся пост-й. 3) ДИ: SS(x^2*y)dxdy. Область ограниценаяфун-ями y=x^2 и y=x^1/2 (корень из икс)
Билет №33